Verified answer

1)

a)

[tex]\int\limits_{0}^{8} (\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx = \left[\frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} + \frac{3x^{4/3}}{4}} \right] \Big|^{8}_{0} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \sqrt{2^9} + \frac{3}{4}\cdot16 - 0 = \frac{64}{3} + 12 = \frac{100}{3}[/tex]

б)

[tex]\int\limits_{\frac13}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{dx}{\sqrt{4 - 9x^2}} = \frac12 \frac23 \int\limits_{\frac13}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{d(\frac32x)}{\sqrt{1 - (\frac32 x)^2}} = \frac13 \mathrm{arctg}(\frac32x)\Big|^{\frac{\sqrt{3}}{3}}_{\frac13} =\\= \frac13 (\mathrm{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathrm{arctg}(\frac12)) = \frac13 (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{18}[/tex]

в)

[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x} dx}{\sqrt{1 + 2\sin{x}}} = \frac12 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d(1 + \sin{x})}{\sqrt{1 + 2\sin{x}}} = \sqrt{1 + 2\sin{x}} \Big|^{\frac{\pi}{2}}_{0} = \sqrt{3} - 1[/tex]

2)

Нарисуем графики функций. Нужная фигура лежит под параболой и осью Оу, см. приложение.

Найдём точки пересечения = границы фигуры = границы интегрирования:

[tex]-x^2 + 2x + 3 = 0\\-(x - 3)(x + 1) = 0\\x_1 = 3\\x_2 = -1[/tex]

Искомая площадь:

[tex]S = \int\limits_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right)\Big|^{3}_{-1} =\\= (-9 + 9 + 9) - (\frac13 + 1 - 3) = \frac{32}{3}[/tex]