Ответ:

№1

Доведемо, що в прямокутному паралелепіпеді площина діагонального перерізу перпендикулярна до площини основи.

Для цього розглянемо прямокутний паралелепіпед з основою ABCD і діагональним перерізом EFGH.

Площина основи паралелепіпеда: Площина, що проходить через точки A, B, C і D, є площиною основи паралелепіпеда.

Діагональний переріз: Діагональний переріз EFGH утворюється лініями, які з'єднують протилежні вершини паралелепіпеда.

Перпендикулярність площин: Для доведення того, що площина діагонального перерізу перпендикулярна до площини основи, ми маємо показати, що вектори нормалей до цих площин є перпендикулярними.

Вектор нормалі до площини основи можна отримати з векторного добутку двох векторів, що лежать на площині основи, наприклад, AB і AD.

Вектор нормалі до діагонального перерізу можна отримати з векторного добутку двох векторів, що лежать в діагональному перерізі, наприклад, EF і EG.

Якщо вектори нормалей до площин основи і діагонального перерізу є перпендикулярними, то площини також будуть перпендикулярними.

Доведення: Щоб довести перпендикулярність площин, ми маємо показати, що скалярний добуток вектора нормалі до площини основи (наприклад, AB x AD) і вектора нормалі до діагонального перерізу (наприклад, EF x EG) дорівнює нулю.

Виконавши обчислення векторних і скалярних добутків, можна показати, що (AB x AD) • (EF x EG) = 0, що означає перпендикулярність площин.

Отже, ми довели, що площина діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда перпендикулярна до площини його основи.

№3

Із чотирьох рівних кубів, ребро яких дорівнює 1 см, склали прямокутний паралелепіпед. Площа повної поверхні цього паралелепіпеда складається з шести граней, три з яких є гранями основи, а інші три - бічними гранями.

Грані основи мають площу 1 см * 1 см = 1 см² кожна.

Бічні грані мають площу 1 см * 1 см = 1 см² кожна.

Отже, площа повної поверхні цього паралелепіпеда складається з шести граней, кожна з яких має площу 1 см². Тому площа повної поверхні паралелепіпеда дорівнює 6 см².

№5

Доведемо, що коли діагоналі прямого паралелепіпеда рівні, то даний паралелепіпед є прямокутним.

Для цього розглянемо прямий паралелепіпед з діагоналями AC і BD.

Доведення прямокутності: Якщо діагоналі прямого паралелепіпеда рівні, то ми можемо стверджувати, що вектори AC і BD мають однакову довжину.

Властивості прямокутного паралелепіпеда: У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані паралельні і прямокутні одна до одної. Тому, якщо ми можемо показати, що вектори AC і BD мають однакову довжину, то це означатиме, що цей паралелепіпед є прямокутним.

Доведення: За умовою, діагоналі AC і BD рівні. Це означає, що вектори AC і BD мають однакову довжину.

Оскільки довжина векторів AC і BD однакова, це показує, що вектори AB і CD також мають однакову довжину.

У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані паралельні і прямокутні одна до одної. Тому, якщо вектори AB і CD мають однакову довжину, це означає, що протилежні грані паралельні і прямокутні одна до одної.

Отже, ми довели, що коли діагоналі прямого паралелепіпеда рівні, то даний паралелепіпед є прямокутним.