1. В треугольнике АВС, а = 28, в = 35, с = 42. Найдите угол, лежащий против меньшей стороны.
2. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине В равен 120 град., АС = 2 корня из 21. Найдите длину медианы АМ.
3. Остройгольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны 3, 5, 6?
Answers & Comments
Verified answer
1. Рассмотрим треугольник со сторонамиa₁ = 4, b₁ = 5, c₁ = 6.
Этот треугольник подобен данному по трем сторонам, так как
a:a₁ = b:b₁ = c:c₁ = 7:1.
Значит, углы, лежащие напротив меньших сторон этих треугольников равны.
По теореме косинусов найдем угол, лежащий напротив стороны а₁:
a₁² = b₁² + c₁² - 2b₁c₁·cosА₁
cosA₁ = (b₁² + c₁² - a₁²)/(2b₁c₁) = (5² + 6² - 4²)/(2·5·6) = 45/60 = 3/4
∠А₁ = arccos(3/4)
2. Пусть АВ = ВС = х.
По теореме косинусов из треугольника АВС:
АС² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120°
84 = 2x² + 2x²·1/2
3x² = 84
x² = 28
x = 2√7
ВС = 2√7, ⇒ ВМ = МС = √7
По теореме косинусов из треугольника АВМ:
АМ² = АВ² + ВМ² - 2АВ·ВМ·cos120°
AM² = 28 + 7 + 14 = 49
AM = 7
3. Найдем косинус угла, лежащего напротив большей стороны, по теореме косинусов:
cosα = (3² + 5² - 6²)/(2·3·5) = - 1/15
Так как cosα < 0, то угол тупой.
Треугольник со сторонами 3, 5 и 6 - тупоугольный.