Ответ:

[tex]\dfrac{15}{17}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]f(x)=\dfrac{x}{1-x}[/tex]

Производная функции

[tex]f'(x)=\bigg(\dfrac {x}{1-x}\bigg)'=\dfrac{x'\cdot(1-x)-(1-x)'\cdot x}{(1-x)^2}=\dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac1{(1-x)^2}[/tex]

Подставим значение [tex]x=3[/tex]

[tex]f'(3)=\dfrac1{(1-3)^2}=\dfrac{1}{4}[/tex]

Это значение равно [tex]\mathrm{tg}\,\alpha[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac14[/tex]

Выразим [tex]\cos 2\alpha[/tex]

[tex]\cos 2\alpha = \dfrac{1 - \mathrm{tg}^{2}\,\alpha}{\mathrm{tg}^{2}\,\alpha + 1}=\dfrac{1-\Big(\dfrac14\Big)^2}{\Big(\dfrac14\Big)^2+1}=\dfrac{1-\dfrac1{16}}{\dfrac1{16}+1}=\dfrac{\dfrac{15}{16}}{\dfrac{17}{16}}=\dfrac{15}{17}[/tex]