Verified answer

Ответ: [tex]142[/tex]

Пошаговое объяснение:

Cумма чисел от 2 до [tex]n[/tex] вычисляется из суммы арифметической прогрессии:

[tex]S_{n} = \frac{(n-1)(n+2)}{2}[/tex]

Откуда количество членов данного ряда равно:

[tex]S_{200} = \frac{199*202}{2} = 20099[/tex]

Тогда в середине ряда находится член с номером: [tex]\frac{20099+1}{2} = 10050[/tex]

Найдем максимальное натуральное число [tex]k[/tex], для которого выполняется неравенство:

[tex]S_{k} \leq 10050\\(k-1)(k+2)\leq 20100[/tex]

Поскольку левая часть монотонно возрастает при натуральном [tex]k[/tex], то вместо того чтобы возится с неудобным радикалами в неравенстве сделаем это подбором.

Попробуем подставить число [tex]140[/tex]:

[tex]139*142 = 19738 < 20100[/tex]

Пробуем [tex]141[/tex]:

[tex]140*143= 20020 < 20100[/tex]

Наконец если взять [tex]142[/tex]:

[tex]141*144 = 20304 > 20100[/tex]

То есть максимальное [tex]k[/tex] при котором выполняется неравенство это [tex]k = 141[/tex], то есть до члена с номером [tex]20020:2 = 10010[/tex] идут все числа от [tex]1[/tex] до [tex]141[/tex] (со всеми их повторениями), а следующими до середины идут повторения числа  [tex]142[/tex].