Ответ:

1) Найти производную функции . Применяем правила дифференцирования и пользуемся таблицей производных, если её ещё не запомнили .

[tex]\bf a)\ \ y(x)=arccos(sinx)+x+e^{^{x^2+x}}\\\\y'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-sin^2x}}\cdot cosx+1+(2x+1)\cdot e^{^{x^2+x}}=\\\\\\=-\dfrac{cosx}{\sqrt{cos^2x}}+1+(2x+1)\cdot e^{^{2x+1}}=-1+1+(2x+1)\cdot e^{^{2x+1}}=(2x+1)\cdot e^{^{2x+1}}[/tex]

[tex]\bf b)\ \ x^3=cosx+cosy\\\\3x^2=-sinx-siny\cdot y'\ \ ,\ \ y'=-\dfrac{sinx+3x^2}{siny}[/tex]  

[tex]\bf 2)\ \ y=-\dfrac{1}{3}\, x^3+\dfrac{1}{2}\, x^2+2x-5\\\\y'=-x^2+x+2=0\ \ ,\ \ x^2-x-2=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=2\ \ (teorema\ Vieta)\\\\y'(x)=-(x+1)(x-2)[/tex]

Знаки у'(x):   [tex]\bf ---(-1)+++(2)---[/tex]   .

Функция возрастает при  [tex]\bf x\in [-1\ ;\ 2\ ][/tex]  .

Функция убывает при   [tex]\bf x\in (-\infty ;-1\ ]\ ,\ \ x\in [\ 2\ ;+\infty \, )[/tex]  

Экстремумы функции:

- точка минимума    [tex]\bf x_{min}=-1\ ,\ \ y_{min}=y(-1)=-\dfrac{37}{6}\ ,\ \ M_1(-1\ ;\, -\frac{37}{6}\ )[/tex] ,

- точка максимума   [tex]\bf x_{max}=2\ ,\ \ y_{max}=y(2)=\dfrac{1}{3}\ \ ,\ \ M_2(2\ ;\ \frac{1}{3}\ )[/tex]  .

[tex]\bf 4)\ \ y=x-8\sqrt{x}-2\ ,\ \ x\in [\ 9\ ;\ 25\ ]\\\\y'=1-\dfrac{8}{2\sqrt{x}}=1-\dfrac{4}{\sqrt{x} }=0\ \ ,\ \ \dfrac{4}{\sqrt{x}}=1\ \ ,\ \ 4=\sqrt{x}\ \ ,\ \ x=16\in [\ 9\ ;\ 25\ ]\\\\y(9)=9-8\cdot 3-2=-17\\\\y(16)=16-8\cdot 4-2=-18\\\\y(25)=25-8\cdot 5-2=-17[/tex]  

Наибольшее значение функции на заданном промежутке  равно[tex]\bf y_{naibol.}=-17[/tex]  .

Наименьшее значение функции на заданном промежутке  равно[tex]\bf y_{naimen.}=-18[/tex] .