Решение.

Уравнение касательной имеет вид :  [tex]\bf y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)[/tex]  .

[tex]\bf y=\sqrt{2x+1} -2x\ \ ,\ \ x_0=4\ \ .\\\\y(4)=\sqrt{2\cdot 4+1}-2\cdot 4=3-8=-5\\\\y'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}-2=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}-2\\\\\\y'(4)=\dfrac{1}{3}-2=-\dfrac{5}{3}[/tex]

Уравнение касательной:

[tex]\bf y=-5-\dfrac{5}{3}\, (x-4)\ \ \ \Rightarrow \ \ y=-\dfrac{5}{3}\, x+\dfrac{5}{3}[/tex]