Ответ:

Радиус окружности равен 2√15 см.

Объяснение:

Найти радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник, и около которой описан правильный треугольник.

Дано: Окр.O,R

ΔАВС - правильный, описан около Окр.О,R;

ΔМРТ - правильный, вписан в Окр.O,R;

Р (АВС) - Р (МРТ) = 18√5 см.

Найти: R.

Решение:

• В правильном треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.

1. Рассмотрим ΔАВС - правильный.

ВК, СН, АЕ - медианы.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

⇒ ВО : ОК = АО : ОЕ = 2 : 1

ОK = ОЕ = R  ⇒  BO = AO = 2R

или ОР = РВ; ОМ = МА.

2. Рассмотрим ΔАОВ.

ОР = РВ; ОМ = МА.

⇒ МР - средняя линия.

• Средняя линия равна половине стороны, которую она не пересекает.

⇒ АВ = 2МР.

3. Пусть МР = а см, тогда АВ = 2а см.

Периметр - сумма длин всех сторон.

⇒ Р (МРТ) = 3а см; Р (АВС) = 6а см.

По условию:

Р (АВС) - Р (МРТ) = 18√5 см

6а - 3а = 18√5

а = 6√5

МР = 6√5 см; АВ = 12√5 см.

4. Найдем радиус окружности, описанной около Δ МРТ по формуле:

[tex]\displaystyle \boxed {R=\frac{a}{\sqrt{3} } }[/tex] , где а - сторона правильного треугольника.

а = 6√5 см

⇒

[tex]\displaystyle R=\frac{6\sqrt{5} }{\sqrt{3} } =\frac{6\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} }{3}=2\sqrt{15}\;_{(CM)}[/tex]

Радиус окружности равен 2√15 см.