Ответ:

1. а)   -1;   б)   1/2;   в)   ∅

2. а) x ∈ (5; +∞);   б)   х ∈ (-∞; -1) ∪ (0; 1/2)

Объяснение:

Решить уравнения:

а)  [tex]\displaystyle \bf 2^x+5\cdot2^{x+1}=5,5[/tex]

• Используем свойства степеней:

        [tex]\boxed {\displaystyle \bf a^m\cdot a^n=a^{m+n}}[/tex]

[tex]\displaystyle 2^x+5\cdot 2 \cdot 2^x=5,5\\ \\2^x+10\cdot2^x=5,5\\\\11\cdot2^x=5,5\;\;\;\;\;|:11\\\\2^x=\frac{1}{2}\\ \\2^x=2^{-1}[/tex]

• Если степени равны и равны основания, то и показатели равны.

х = -1

б)  [tex]\displaystyle \bf 3^{4x}-3^{2x}=6[/tex]

• Используем свойства степеней:

        [tex]\boxed {\displaystyle \bf (a^m)^n=a^{mn}}[/tex]

[tex]\displaystyle (3^{2x})^2-3^{2x}-6=0[/tex]

Выполним замену:

3²ˣ = t,   t > 0

Получим квадратное уравнение:

[tex]\displaystyle t^2-t-6=0[/tex]

По теореме Виета:

t₁ = 3;     t₂ = -2

t₂ - не подходит, так как  t > 0.

Обратная замена:

[tex]\displaystyle 3^{2x}=3^1\\\\2x=1\;\;\;\;\;|:2\\\\[/tex]

x = 1/2

в)   [tex]\displaystyle \bf 2^{2x}-3\cdot 2^{x}+3=0[/tex]  

[tex]\displaystyle (2^x)^2-3\cdot2^x+3=0[/tex]

Замена переменной:

2ˣ = t

[tex]\displaystyle t^2-3\cdot t+3=0[/tex]

D = 9 - 12  < 0   ⇒  нет корней.

∅

Решить неравенства:

а)  [tex]\displaystyle \bf 3^{\sqrt{x-1} } > 3^{2}[/tex]

• Используем свойства степеней:

• если [tex]\boxed {\displaystyle \bf (a > 1\;\;\;u\;\;\;a^m > a^n,\;_{TO}\;m > n}[/tex]

[tex]\displaystyle \sqrt{x-1} > 2\\ \\x-1 > 4\\\\x > 5[/tex]

x ∈ (5; +∞)

б)    [tex]\displaystyle \bf 2^{\frac{2x^2+x-1}{x} } < 1[/tex]

• Используем свойства степеней:

• если [tex]\boxed {\displaystyle \bf (a > 1\;\;\;u\;\;\;a^m < a^n,\;_{TO}\;m < n}[/tex]

[tex]\displaystyle 2^{\frac{2x^2+x-1}{x} } < 2^0\\\\\frac{2x^2+x-1}{x} < 0[/tex]

Решим методом интервалов. Найдем корни уравнения:

[tex]\displaystyle \frac{2x^2+x-1}{x} = 0[/tex]

• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

[tex]\displaystyle 2x^2+x-1=0\\\\\sqrt{D}=\sqrt{1+8}=3\\ \\\bf x_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2};\;\;\;\;\; x_2=\frac{-1-3}{4}=-1[/tex]

x ≠ 0

Отметим эти точки на числовой оси и найдем знаки на промежутках:

[tex]---(-1)+++(0)---(\frac{1}{2} )+++[/tex]

Знак неравенства "<", значит нужные промежутки со знаком "-".

х ∈ (-∞; -1) ∪ (0; 1/2)

#SPJ1