Verified answer

повторим факты, на которые будем опираться при решении вашей задачи.

1.радиус, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей.

2. два прямоугольных треугольника равны по катету и гипотенузе.

3. радиусы одной окружности равны.

4. если равны хорды, то равны и их половины.

Рассмотрим треугольники.

Докажем сначала, что треугольники ОАМ и ОВN равны. т.к. ОА⊥МК, то ∠ОАМ=90°, а т.к. OB⊥NP, то ∠ОВN=90°, МО и NО- равные радиусы, это гипотенузы в треугольниках ОАМ и ОВN; катеты их равны по условию, как половинки равных хорд. т.е. АМ=ВN, из равенства треугольников по катету и гипотенузе, следует равенство соответствующих сторон АО и ВО, соединим точки А и В,  тогда треугольник АОВ- равнобедренный, а углы, равенство которых нам надо доказать, это углы при основании АВ , поэтому они и равны. т.е. ∠ОАВ=∠ОВА

Р.S. нахожусь в самолете. рис. не нарисую. попробуйте по решению нарисовать хорды. это совсем не сложно, соединить нужные отрезки.