На меньшем катете прямоугольного Δ ABC с прямым углом A , как на диаметре построен круг. Найдите площадь части круга, расположенной вне треугольника, если AC= 12 см , ∠С=30°.

Объяснение:

Тк АВ-диаметр, то половина круга находится ниже катета АВ и часть круга( сегмент ВКР) правее гипотенузы.

1) S(половины круга) =0,5*πr², r=1/2*AB=OB=OP

ΔАВС-прямоугольный , tg∠C=AB/AC , tg30°=AB/12, AB=12√3 см.

Тогда r=6√3 см и S(половины круга) =0,5*π(6√3)²=54π( см²).

2) S(сегмент)=[tex]\frac{1}{2} *r^{2} *(\frac{\pi *\alpha }{180} -sin\alpha )[/tex] ,где угол α=∠РОВ .

В ΔАВС угол ∠С=30°, значит ∠В=60°.

В ΔВРО-равнобедренном ( ОВ=ОР=r) ,угол при основании ВР равен 60° ⇒∠ОРВ=60°⇒ ∠РОВ=60°.

S(сегм. ВРК)=[tex]\frac{1}{2} *(6\sqrt{3} )^{2} *(\frac{\pi *60 }{180} -sin 60)=54*(\frac{\pi }{3} -\frac{\sqrt{3} }{2} )=18\pi -27\sqrt{3}[/tex](см²).

3)S(части круга, расположенноuго вне ΔАВС)=54π+18π-27√3( см²)=

=72π-27√3( см²).