Длина дуги кругового сектора равна 3π , а его площадь 13,5 π. Найдите площадь круга , вписанного в этот сектор.

Объяснение:

1 ) Длина дуги L=(πRα)/180  , тогда 3π=(πRα)/180 ⇒ Rα=180*3

2) Площадь кругового сектора S=(πR²α)/360 ,  тогда

(πR²α)/360 =13,5π ⇒   R²α=13,5*360 , R*Rα=13,5*360   ,

R*(180*3)=13,5*360 , R=9 ед

3) 9α=180*3 ⇒ α =60°

4)МО₁=НО₁=r  вписанного круга . Отрезок ОС=ОО₁+О₁С или 9=ОО₁+r   ⇒ OO₁=9-r.  Угол ∠O₁ОН=60°:2=30° .

ΔOO₁H- прямоугольный , по свойству радиуса O₁Н , проведенного в точку касания. sin30° =НО₁/OО₁  или 1/2=r/(9-r)  ⇒ 2r=9-r , r=3 ед.

S(круга)=πr² , S(круга)=9π ед².