Нули подмодульных выражений: x = 1; 2; 3; 4. Будет пять промежутков: 1) x ∈ (-∞; 1) 2) x ∈ (1; 2) 3) x ∈ (2; 3) 4) x ∈ (3; 4) 5) x ∈ (4; +∞) В 1) всё раскрывается со знаком "-" Во 2) всё раскрывается со знаком "-", кроме (x - 1); В 3) (x - 1) и (x - 2) раскрываются со знаком "+", (x - 3) и (x - 4) со знаком "-"; В 4) все раскрывается со знаком "+", кроме (x - 4) В 5) всё раскрывается со знаком "+"
1) x ∈ (-∞; 1) (-x + 4 + x - 1)/(-x + 3 + x - 2) < (-x + 3 - x + 2)/(-x + 4) 3/1 < (-2x + 5)/(4 - x) 3 < (2x - 5)/(x - 4) (2x - 5)/(x - 4) > 3 (2x - 5 - 3x + 12)/(x - 4) > 0 (-x + 7)/(x - 4) > 0 (x - 7)/(x - 4) < 0 Нули числителя: x = 4; Нули знаменателя: x = 7; ||||||||||||||||||||||||||||||||| -----------0------------------------0-----------------> x + 4 - 7 + x ∈ (4; 7) - не входит в условие
|||||||||||||||||| |||||||||||||||||||||||| -----------0------------0----------------0-----------------> x - 2,5 + 3 - 4 + x ∈ (2,5; 3) U (4; +∞) - не входит в условие
3) x ∈ (2; 3) (-x + 4 - x + 1)/(-x + 3 - x + 2) < (-x + 3 + x - 2)/(-x + 4) (-2x + 5)/(-2x + 5) < 1/(-x + 4) Сокращаем дробь, но ставим условие, что x ≠ 2,5 1/(4 - x) > 1 1/(x - 4) < -1 1/(x - 4) + 1 < 0 (x - 4 + 1)/(x - 4) < 0 (x - 3)/(x - 4) < 0 Нули числителя: x = 3; Нули знаменателя: x = 4; ||||||||||||||||||||||||||||||||| -----------0------------------------0-----------------> x + 3 - 4 + x ∈ (3; 4) - не подходит под условие
||||||||||||||| |||||||||||||||||||||||| -----------0------------0----------------0-----------------> x - 2,5 + 3 - 4 + x ∈ (-∞; 5/2) U (3; 4). В условие входит только x ∈ (3; 4)
Answers & Comments
Verified answer
Нули подмодульных выражений:x = 1; 2; 3; 4.
Будет пять промежутков:
1) x ∈ (-∞; 1)
2) x ∈ (1; 2)
3) x ∈ (2; 3)
4) x ∈ (3; 4)
5) x ∈ (4; +∞)
В 1) всё раскрывается со знаком "-"
Во 2) всё раскрывается со знаком "-", кроме (x - 1);
В 3) (x - 1) и (x - 2) раскрываются со знаком "+", (x - 3) и (x - 4) со знаком "-";
В 4) все раскрывается со знаком "+", кроме (x - 4)
В 5) всё раскрывается со знаком "+"
1) x ∈ (-∞; 1)
(-x + 4 + x - 1)/(-x + 3 + x - 2) < (-x + 3 - x + 2)/(-x + 4)
3/1 < (-2x + 5)/(4 - x)
3 < (2x - 5)/(x - 4)
(2x - 5)/(x - 4) > 3
(2x - 5 - 3x + 12)/(x - 4) > 0
(-x + 7)/(x - 4) > 0
(x - 7)/(x - 4) < 0
Нули числителя: x = 4;
Нули знаменателя: x = 7;
|||||||||||||||||||||||||||||||||
-----------0------------------------0-----------------> x
+ 4 - 7 +
x ∈ (4; 7) - не входит в условие
2) x ∈ (1; 2)
(-x + 4 - x + 1)/(-x + 3 + x - 2) < (-x + 3 - x + 2)/(-x + 4)
(-2x + 5)/1 < (-2x + 5)/(4 - x)
(5 - 2x)/(4 - x) > (5 - 2x)
[(5 - 2x) - (4 - x)(5 - 2x)]/(4 - x) > 0
[5 - 2x - (20 - 8x - 5x + 2x²)]/(4 - x) > 0
[5 - 2x - (2x² - 13x + 20)]/(4 - x) > 0
(-2x² + 13x - 2x + 5 - 20)/(4 - x) > 0
(2x² - 11x + 15)/(x - 4) > 0
(2x² - 6x - 5x + 15)/(x - 4) > 0
[2x(x - 3) - 5(x - 3)]/(x - 4) > 0
(2x - 5)(x - 3)/(x - 4) > 0
Нули числителя: x = 2,5; 3
Нули знаменателя: x = 4
|||||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||
-----------0------------0----------------0-----------------> x
- 2,5 + 3 - 4 +
x ∈ (2,5; 3) U (4; +∞) - не входит в условие
3) x ∈ (2; 3)
(-x + 4 - x + 1)/(-x + 3 - x + 2) < (-x + 3 + x - 2)/(-x + 4)
(-2x + 5)/(-2x + 5) < 1/(-x + 4)
Сокращаем дробь, но ставим условие, что x ≠ 2,5
1/(4 - x) > 1
1/(x - 4) < -1
1/(x - 4) + 1 < 0
(x - 4 + 1)/(x - 4) < 0
(x - 3)/(x - 4) < 0
Нули числителя: x = 3;
Нули знаменателя: x = 4;
|||||||||||||||||||||||||||||||||
-----------0------------------------0-----------------> x
+ 3 - 4 +
x ∈ (3; 4) - не подходит под условие
4) x ∈ (3; 4)
(-x + 4 - x + 1)/(x - 3 - x + 2) < (x - 3 + x - 2)/(-x + 4)
(-2x + 5)/(-1) < (2x - 5)/(4 - x)
2x - 5 < (2x - 5)/(4 - x)
(2x - 5)/(4 - x) > 2x - 5
[2x - 5 - (4 - x)(2x - 5)]/(4 - x) > 0
[2x - 5 - (8x - 20 - 2x² + 5x)]/(4 - x) > 0
(2x - 5 - 13x + 20 + 2x²)/(x - 4) < 0
(2x² - 11x + 15)/(x - 4) < 0
(2x² - 6x - 5x + 15)/(x - 4) < 0
[2x(x - 3) - 5(x - 3)]/(x - 4) < 0
(2x - 5)(x - 3)/(x - 4) < 0
Нули числителя: x = 2,5; 3
Нули знаменателя: x = 4
||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||
-----------0------------0----------------0-----------------> x
- 2,5 + 3 - 4 +
x ∈ (-∞; 5/2) U (3; 4).
В условие входит только x ∈ (3; 4)
5) x ∈ (4; +∞)
(x - 4 - x + 1)/(x - 3 - x + 2) < (x - 3 + x - 2)/(x - 4)
-3/-1 < (2x - 5)/(x - 4)
(2x - 5)/(x - 4) > 3
[2x - 5 - 3(x - 4)]/(x - 4) > 0
(2x - 5 - 3x + 12)/(x - 4) > 0
(-x + 7)/(x - 4) > 0
(x - 7)/(x - 4) < 0
|||||||||||||||||||||||||||||||||
-----------0------------------------0-----------------> x
+ 4 - 7 +
x ∈ (4; 7).
Объединяем полученные два неравенства и получаем ответ:
x ∈ (3; 4) U (4; 7).
Ответ: x ∈ (3; 4) U (4; 7).