Ответ:

Точка [tex]B_{1}[/tex], симметричная точке В относительно прямой АС имеет координаты [tex]B_{1} (1;-2)[/tex]

Объяснение:

По условию задан Δ АВС  

А( -1; 1), В(-3; -2), С (-1; -5)

Построим систему координат и отметим эти точки ( показано на первом рисунке)

Соединим построенные точки отрезками и построим треугольник ΔАВС. По рисунку видно, что полученный треугольник равнобедренный. Докажем это. По формуле расстояния между точками найдем длины боковых сторон  АВ и ВС .

Пусть даны точки [tex]M(x{_1};y{_1}) ; N(x{_2};y{_2})[/tex]

Тогда расстояние между ними определяется по формуле

[tex]MN= \sqrt{(x{_1}-x{_2})^{2} +(y{_1}-y{_2})^{2}}[/tex]

Тогда длины сторон

[tex]AB= \sqrt{(-1+3)^{2} +(1+2)^{2} } =\sqrt{2^{2}+3^{2} } =\sqrt{4+9} =\sqrt{13} ;[/tex]

[tex]BC= \sqrt{(-3+1)^{2} +(-2+5)^{2} } =\sqrt{(-2)^{2}+3^{2} } =\sqrt{4+9} =\sqrt{13}[/tex]

Так как АВ = ВС, то треугольник равнобедренный с основанием АС.

Симметрией относительно прямой  а или осевой симметрией называется преобразование переводящее точку А в точку  [tex]A_{1}[/tex] так, что а - серединный перпендикуляр к отрезку [tex]AA_{1}[/tex]

Тогда построим прямую АС. По условию эта прямая ось симметрии.

Проведем высоту ВН треугольника Δ АВС. Так как треугольник АВС равнобедренный, то высота , проведенная к основанию является медианой и точка Н - середина основания. Найдем координаты точки Н

[tex]x=\dfrac{-1+(-1)}{2} =-\dfrac{2}{2} =-1;\\\\y=\dfrac{1+(-5)}{2} =-\dfrac{4}{2} =-2[/tex]

H(-1; -2)

Длина высоты ВН равна 2. Докажем это по формуле расстояния между точками.

[tex]BH= \sqrt{(-3+1)^{2} +(-2+2)^{2} } =\sqrt{(-2)^{2}+0^{2} } =\sqrt{4+0} =\sqrt{4}=2[/tex]

Отметим точку [tex]B_{1}[/tex] на продолжении высоты ВН на расстоянии 2 единицы от точки Н. Полученная точка имеет координаты

[tex]B_{1} (1;-2)[/tex] .