Ответ:

а)  Метод замены переменной ( подстановки) .

[tex]\displaystyle \int x^4\sqrt{x^5+5}\, dx=\Big[\ t=x^5+5\ ,\ dt=5x^4\, dx\ ,\ x^4\, dx=\frac{1}{5}\, dt\ ]=\\\\\\=\frac{1}{5}\int \sqrt{t}\, dt=\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}+C=\bf \frac{2}{15}\cdot \sqrt{(x^5+5)^3}+C[/tex]  

б)  Площадь криволинейной трапеции найдём с помощью определённого интеграла, причём воспользуемся результатами интегрирования в пункте а) .

[tex]\displaystyle \int\limits_{-1}^1\, x^4\sqrt{x^5+5}\, dx=\frac{2}{15}\cdot \sqrt{(x^5+5)^3}\, \Big|_{-1}^1=\frac{2}{15}\cdot (\sqrt{6^3}-\sqrt{4^3})=\frac{2}{15}\cdot (6\sqrt6-4\sqrt4)=\\\\\\=\frac{4}{15}\cdot (3\sqrt6-2\cdot 2)=\bf \frac{4}{15}\cdot (3\sqrt6-4)[/tex]  

в)  Объём тела вращения вокруг оси ОХ.

[tex]\displaystyle V_{jx}=\pi \int\limits _{a}^{b}\, f^2(x)\, dx=\pi \int\limits _{0}^{1}\, x^8\cdot (x^5+5)\, dx=\pi \int\limits _{0}^{1}\, (x^{13}+5x^8)\, dx=\\\\\\=\pi \cdot \Big(\frac{x^{14}}{14}+\frac{5x^9}{9}\Big)\Big|_0^1=\pi \cdot \Big(\frac{1}{14}+\frac{5}{9}\Big)=\boldsymbol{\frac{79}{126}\cdot \pi }[/tex]