Verified answer

Решение на фотографии

Решение.

[tex]5.\ \ \ log_{0,5}\, \dfrac{x+4}{x-6}\leq log_{0,5}\dfrac{1}{2}[/tex]

ОДЗ:  выражение под знаком log строго больше 0 ,

  [tex]\dfrac{x+4}{x-6} > 0\ ,[/tex]    знаки:  +++++(-4) - - - - - (6)+++++   [tex]x\in (-\infty ;-4\ )\cup (\ 6\ ;+\infty )[/tex]

Основание логарифма  0<0,5<1 , поэтому это убывающая функция, и знак между аргументами логарифмической функции будет противоположным .

[tex]\displaystyle \frac{x+4}{x-6}\geq \frac{1}{2}\ \ ,\ \ \frac{2(x+4)-(x-6)}{2(x-6)} \geq 0\ \ ,\ \ \frac{x+14}{2(x-6)}\geq 0[/tex]

знаки:   +++++ [-14] - - - - (6) +++++      [tex]x\in (-\infty ;-14\, ]\cup (\ 6\ ;+\infty )[/tex]  

C учётом ОДЗ ответ:     [tex]x\in (-\infty ;-14\, ]\cup (\ 6\ ;+\infty )[/tex]  .

[tex]6.\ \ log_2(3-x) < -1[/tex]

ОДЗ:   [tex]3-x > 0\ ,\ \ x < 3[/tex]

[tex]log_2(3-x) < log_22^{-1}\ \ ,\ \ \ log_2(3-x) < log_2\dfrac{1}{2}[/tex]

Логарифмическая функция с основанием 2>1  возрастающая, поэтому знак между аргументами логарифмической функции будет таким же .

[tex](3-x) < \dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \ 3-\dfrac{1}{2} < x\ \ ,\ \ x > 2,5[/tex]

Учтём ОДЗ:  [tex]\left\{\begin{array}{l}x < 3\\x > 2,5\end{array}\right\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2,5 < x < 3[/tex]  

Ответ:  [tex]x\in (\ 2,5\ ;\ 3\ )[/tex]  .