Дано:

- Відстань від точки до площини: 12 см.

- Довжина першої похилої: 13 см.

- Довжина другої похилої: 12√2 см.

- Кут між проекціями похилих: 90°.

Ми хочемо знайти відстань від цієї точки до прямої, що проходить через основи похилих.

Розглянемо плоскість, яка проходить через цю точку і паралельна до площини, тоді проекції похилих на цю площину будуть перпендикулярними до прямих, що проходять через основи похилих.

Оскільки кут між проекціями похилих дорівнює 90°, то вони утворюють прямокутний трикутник.

Позначимо відстань від точки до основи першої похилої як d1, а відстань до основи другої похилої - як d2.

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника:

d1² + d2² = (12√2)²

d1² + d2² = 144 * 2

d1² + d2² = 288

Також, знаючи, що відстань від точки до площини дорівнює 12 см, можемо виразити d1 і d2:

d1 + d2 = 12

Ми маємо систему рівнянь:

d1² + d2² = 288

d1 + d2 = 12

Цю систему можна вирішити для знаходження значень d1 і d2.

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримаємо:

d1 ≈ 9.603 см

d2 ≈ 2.397 см

Отже, відстань від цієї точки до прямої, що проходить через основи похилих, приблизно дорівнює 9.603 см.