Решение.

[tex]\displaystyle \bf \frac{1}{x^2-2x+2}+\frac{2}{x^2-2x+3}=\frac{6}{x^2-2x+4}\ \ ,\ \ ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf x^2-2x+2\ne 0\\\bf x^2-2x+3\ne 0\\\bf x^2-2x+4\ne 0\end{array}\right[/tex]  

Сделаем замену:   [tex]\bf t=x^2-2x+3[/tex]  .

[tex]\bf x^2-2x+2=t-1\ ,\ \ x^2-2x+4=t+1\\\\\dfrac{1}{t-1}+\dfrac{2}{t}=\dfrac{6}{t+1}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{t\, (t+1)+2\, (t^2-1)-6\, t\, (t-1)}{t\, (t-1)(t+1)}=0\ ,\\\\\\\dfrac{t^2+t+2t^2-2-6t^2+6t}{t\, (t^2-1)}=0\ \ ,\ \ \ \dfrac{-3t^2+7t-2}{t\, (t^2-1)}=0\ \ \Rightarrow \\\\\\3t^2-7t+2=0\ \ ,\ \ \ D=b^2-4ac=49-24=25\ ,\\\\t_1=\dfrac{7-5}{6}=\dfrac{1}{3}\ ,\ \ \ t_2=\dfrac{7+5}{6}=2[/tex]

Перейдём к старой переменной .

[tex]\bf 1.\ \ x^2-2x+3=\dfrac{1}{3}\ \ \to \ \ x^2-2x+\dfrac{8}{3}=0\ \ ,\ \ \ 3x^2-6x+8=0\ \ ,\\\\D=6^2-4\cdot 3\cdot 8=-60 < 0[/tex]

нет действительных корней

[tex]\bf 2.\ \ x^2-2x+3=2\ \ \to \ \ \ x^2-2x+1=0\ \ ,\ \ (x-1)^2=0\ \ ,\\\\x-1=0\ \ ,\ \ x=1[/tex]  

При подстановке  х=1  в ОДЗ убеждаемся что число 1 удовлетворяет этим условиям .

Ответ:  х=1 .