Нужно несколько раз использовать формулу синуса двойного угла: sin2α = 2sinαcosα
Домножим (и затем разделим) на sinx/2 (применим"метод каскада"): sin(x/2) · cos(x/2) · cosx · cos2x · cos4x = 1/2sinx · cosx · cos2x · cos4x = = 1/4sin2x · cos2x · cos4x = 1/8sin4x · cos4x = 1/16sin8x Теперь наше уравнение примет вид 1/16 · sin8x/sin(x/2) = 1/16 или sin8x/sin(x/2) = 1, откуда sin8x = sin(x/2) sin8x - sin(x/2) = 0 2cos(17x/2)sin(15x/2) = 0 cos(17x/2) = 0 или sin(15x/2) = 0 17х/2 = π/2 + πn, n ∈ Z 15x/2 = πk, k ∈ Z 17х = π + 2πn, n ∈ Z 15x = 2πk, k ∈ Z x = π/17 + 2πn/17, n ∈ Z х = 2πk/15, k ∈ Я возможно еще надо объединить эти решения, отметив их на единичной окружности (вдруг они совпадают) - но здесь это проблематично
Answers & Comments
Verified answer
Нужно несколько раз использовать формулу синуса двойного угла:sin2α = 2sinαcosα
Домножим (и затем разделим) на sinx/2 (применим"метод каскада"):
sin(x/2) · cos(x/2) · cosx · cos2x · cos4x = 1/2sinx · cosx · cos2x · cos4x =
= 1/4sin2x · cos2x · cos4x = 1/8sin4x · cos4x = 1/16sin8x
Теперь наше уравнение примет вид
1/16 · sin8x/sin(x/2) = 1/16 или sin8x/sin(x/2) = 1, откуда
sin8x = sin(x/2)
sin8x - sin(x/2) = 0
2cos(17x/2)sin(15x/2) = 0
cos(17x/2) = 0 или sin(15x/2) = 0
17х/2 = π/2 + πn, n ∈ Z 15x/2 = πk, k ∈ Z
17х = π + 2πn, n ∈ Z 15x = 2πk, k ∈ Z
x = π/17 + 2πn/17, n ∈ Z х = 2πk/15, k ∈ Я
возможно еще надо объединить эти решения, отметив их на единичной окружности (вдруг они совпадают) - но здесь это проблематично