Verified answer

Каково количество действительных чисел удовлетворяющих следующей системе уравнений?

{x=y²+y+1

{5y=2-x-x²

Ответ:

Существует две пары действительных чисел удовлетворяющих этой системе уравнений: (3;-2) и (1;0).

Пошаговое объяснение:

[tex]\huge \boldsymbol {} \left \{ {{x=y^2+y+1} \atop {5y=2-x-x^2}} \right.[/tex]

Со второго уравнения выразим х через у:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} 5y=2-x-x^2\\\\5y-2+x+x^2=0\\\\x^2+x+5y-2=0\\\\a=1, b=1, c=5y-2\\\\D=b^2-4ac=1^2-4*1*(5y-2)=\\\\=1-20y+8=9-20y\\\\x_{1,2} =\frac{-b\±\sqrt{D} }{2a}\\\\x_1=\frac{-1+\sqrt{9-20y} }{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=\frac{-1-\sqrt{9-20y} }{2}[/tex]

Имеем следующие системы уравнений:

[tex]\huge \boldsymbol {} \left \{ {{x=y^2+y+1\:\:\:\:\:\:} \atop {x=\frac{-1-\sqrt{9-20y} }{2}}} \right. \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left \{ {{x=y^2+y+1\:\:\:\:\:\:} \atop {x=\frac{-1+\sqrt{9-20y} }{2}}} \right.[/tex]

В каждом из уравнений двух систем равны левые части (х=х), соответственно правые их части тоже равные. Приравниваем их и решаем два следующих уравнения:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} y^2+y+1=\frac{-1+\sqrt{9-20y} }{2} \:\:\:\:\:\:\:\text{equation 1}\\\\y^2+y+1=\frac{-1-\sqrt{9-20y} }{2} \:\:\:\:\:\:\:\text{equation 2}[/tex]

Чтобы не решать одновременно два примера и решить всё более наглядно, начнём со второго уравнения и потом вернёмся к первому.

[tex]\LARGE \boldsymbol {} y^2+y+1=\frac{-1-\sqrt{9-20y} }{2}\\\\2(y^2+y+1)=-1-\sqrt{9-20y} \\\\2y^2+2y+2+1=-\sqrt{9-20y} \\\\(-2y^2-2y-3)^2=(\sqrt{9-20y})^2\\\\9-20y=9+4y^4+4y^2+12y^2+12y+8y^3\\\\9-20y-9=4y^4+16y^2+12y+8y^3\\\\-20y-4y^4-16y^2-12y-8y^3=0\\\\[/tex]

[tex]\LARGE \boldsymbol {} -4y(8+y^3+4y+2y^2)=0\\\\8+y^3+4y+2y^2=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{y=0}\\\\(2+y)(4-2y+y^2)+2y(2+y)=0\\\\(2+y)(4-2y+y^2+2y)=0\\\\2+y=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:4+y^2=0\\\\\boxed{y=-2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\notin R[/tex]

Проверяем, являются ли эти корни решением уравнения:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} 0^2+0+1=\frac{-1-\sqrt{9-20*0} }{2}\\\\1=\frac{-1-3}{2} \\\\1\neq -2[/tex]

y = 0 не является корнем уравнения. Проверим корень у=(-2):

[tex]\LARGE \boldsymbol {} (-2)^2+(-2)+1=\frac{-1-\sqrt{9-20*(-2)} }{2}\\\\4-2+1=\frac{-1-\sqrt{49} }{2} \\\\3\neq -4[/tex]

Мы пришли к тому, что второе уравнение не имеет корней. Вернёмся к первому уравнению:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} y^2+y+1=\frac{-1+\sqrt{9-20y} }{2} \\\\2y^2+2y+2=-1+\sqrt{9-20y}\\\\(2y^2+2y+3)^2=(\sqrt{9-20y})^2\\\\4y^4+16y^2+12y+8y^3+9=9-20y\\\\4y^4+16y^2+12y+8y^3=-20y\\\\4y^4+16y^2+12y+8y^3+20y=0\\\\4y(y^3+4y+2y^2+8)=0\\\\y^3+4y+2y^2+8=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{y=0}\\\\(2+y)(4-2y+y^2)+2y(2+y)=0\\\\(2+y)(4-2y+y^2+2y)=0\\\\2+y=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:4+y^2=0\\\\\boxed{y=-2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\notin R[/tex]

Проверяем корни:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} 0^2+0+1=\frac{-1+\sqrt{9-20*0} }{2}\\\\1=\frac{-1+3}{2} \\\\1=1[/tex]

y=0 - первый корень уравнения.

[tex]\LARGE \boldsymbol {} (-2)^2+(-2)+1=\frac{-1+\sqrt{9-20*(-2)} }{2}\\\\4-2+1=\frac{-1+\sqrt{49} }{2} \\\\3=\frac{6}{2}\\\\3=3[/tex]

y=(-2) - второй корень уравнения.

[tex]\huge \boldsymbol {} \left \{ {{x=y^2+y+1} \atop {y=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}} \right.\Leftrightarrow\left \{ {{x=1} \atop {y=0}} \right. \\\\\\\boxed{(x;y)=(1;0)}\\\\\left \{ {{x=y^2+y+1} \atop {y=-2\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}} \right.\Leftrightarrow\left \{ {{x=3} \atop {y=-2}} \right. \\\\\\\boxed{(x;y)=(3;-2)}[/tex]