Ответ:

Скорость катера в стоячей воде 14 км/ч;  скорость течения 2 км/ч.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения.

Вспомним формулы:

[tex]\displaystyle \boxed {S=vt;\;\;\;\;\;v=\frac{S}{t};\;\;\;\;\;t=\frac{S}{v} }[/tex]

От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот.

Плот плывет за счет течения реки, значит скорость плота равна скорости течения реки.

Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов.

То есть, катер прошел по течению 96 км и против течения 96 км и затратил на весь путь 14 часов.

Vпо теч. = Vк. + Vтеч.;

Vпр. теч. = Vк. - Vтеч.

Пусть скорость катера - х км/ч; скорость течения - у км/ч.

Время катера по течению равно:

[tex]\displaystyle \frac{96}{x+y}[/tex]  (ч)

Время катера против течения равно:

[tex]\displaystyle \frac{96}{x-y}[/tex]  (ч)

Составим уравнение:

[tex]\displaystyle \frac{96}{x+y}+ \frac{96}{x-y}=14[/tex]

Известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Значит катер до встречи проплыл по течению  96 км и против течения

96 - 24 = 72 (км)

Плот до встречи проплыл 24 км.

При этом они затратили от момента отправления из пункта А одинаковое время:

Время плота:

[tex]\displaystyle \frac{24}{y}[/tex] (ч)

Время катера:

[tex]\displaystyle \frac{96}{x+y} +\frac{72}{x-y}[/tex]

Составим уравнение:

[tex]\displaystyle \frac{96}{x+y}+\frac{72}{x-y} =\frac{24}{y}[/tex]      

Решим систему полученных уравнений:

[tex]\displaystyle \left \{ {{\frac{96}{x+y}+ \frac{96}{x-y}=14} \atop { \frac{96}{x+y}+\frac{72}{x-y} =\frac{24}{y}}} \right. \\ \\[/tex]

Упростим первое уравнение:

[tex]\displaystyle \frac{96}{x+y} +\frac{96}{x-y} =14\\\\\frac{96x-96y+96x+96y}{x^2-y^2} =14\\\\192x=14x^2-14y^2\;\;\;|:2\\\\96x-7x^2-7y^2=0[/tex]

Упростим второе уравнение и выразим х:

[tex]\displaystyle \frac{96}{x+y}+\frac{72}{x-y}=\frac{24}{y} \\ \\\frac{96x-96y+72x+72y}{x^2-y^2} =\frac{24}{y} \\\\\frac{168x-24y}{x^2-y^2} =\frac{24}{y}\\ \\168xy-24y^2=24x^2-24y^2\\\\168xy-24x^2=0\\\\x(168y-24x) = 0\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2 = 7y[/tex]

x₁ не подходит по условию.

Подставим х = 7у в первое уравнение и найдем у.

[tex]\displaystyle 96\cdot{7y}-7\cdot{49y^2+7y^2}=0\;\;\;|:7\\\\96y-48y^2=0\\\\y(96-48y)=0\\\\y_1=0;\;\;\;\;\;y=2[/tex]

y₁ не подходит.

⇒ у = 2;   х = 7у = 14.

Скорость катера в стоячей воде 14 км/ч;  скорость течения 2 км/ч.