Ответ:

[tex]3\sqrt{3}[/tex]

Объяснение:

Пусть [tex]ABCD[/tex] — данная трапеция, [tex]O[/tex] — центр полуокружности и середина основания [tex]AD.[/tex] Тогда [tex]OA = OB = OC = OD = 2[/tex] см. Пусть верхнее основание [tex]BC = x.[/tex] Опустим из вершин [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex] высоты на нижнее основание [tex]BH[/tex] и [tex]CK.[/tex]

[tex]AH = KD = \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{{4 - x}}{2},[/tex] [tex]HO = OK = \frac{x}{2}.[/tex] Так как периметр трапеции [tex]10[/tex] см, то [tex]AB = CD = \frac{{6 - x}}{2}.[/tex]

По теореме Пифагора из треугольника [tex]AHB[/tex] [tex]B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {\left( {\frac{{6 - x}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{4 - x}}{2}} \right)^2} = 5 - x,[/tex] а из треугольника [tex]BHO[/tex] [tex]B{H^2} = B{O^2} - H{O^2} = {2^2} - {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = 4 - \frac{{{x^2}}}{4},[/tex] откуда

[tex]5 - x = 4 - \frac{{{x^2}}}{4},\\{x^2} - 4x + 4 = 0,\\{(x - 2)^2} = 0,\\x = 2.[/tex]

Тогда высота трапеции [tex]BH = \sqrt {4 - 1} = \sqrt 3[/tex] см, а ее площадь [tex]S = \frac{{2 + 4}}{2} \cdot \sqrt 3 = 3\sqrt 3[/tex] см[tex]^{2}.[/tex]

Verified answer

Відповідь: задача має декілька розв'язків. Один із таких.