Ответ:

Нам нужно найти площадь области заключенную двумя окружностями.

Так как диаметр окружности 2, то сторона тоже соответственно 2, а радиус окружности 1.

MB=NB=1

Если провести отрезок BD, то получается, что это биссектриса, потому что окружности равны и шестиугольник правильный.

ΔMBD и ΔBND равносторонние.

Найдем площадь меньшего сегмента круга с центром M заключенную хордой BD.

Площадь сегмента круга:

[tex]S = \frac{ {r}^{2} }{2} ( \alpha - \sin( \alpha ) )[/tex]

α в радианах

У нас треугольники правильные, поэтому α=60°=π/3

[tex]S_{сег} = \frac{ {1}^{2} }{2} ( \frac{\pi}{3} - \sin( \frac{\pi}{3} ) ) = \frac{\pi}{6} - \frac{ \sqrt{3} }{4} [/tex]

А полная площадь области между двумя окружностями будет

[tex]2 \times ( \frac{\pi}{6} - \frac{ \sqrt{3} }{4} ) = \frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]

Теперь надо разделить эти полукруги и посчитать у скольких надо взять площадь, которую нашли выше, а у скольких не надо. У 3 нужно и у 3 не нужно, потому что у 2 кругов будет общая площадь.

Теперь посчитаем какова площадь всех 6 полукругов. Площадь круга πr², а нам нужна половина.

[tex]S_{кр} = \frac{\pi {r}^{2} }{2} [/tex]

Но у нас их целых шесть, поэтому

[tex]S_{кр} = 6 \times \frac{\pi {r}^{2} }{2} = 3\pi {r}^{2} [/tex]

[tex]3\pi \times {1}^{2} = 3\pi[/tex]

А еще отнимем от этого результата 3 площади, заключенных между двумя кругами.

[tex]3\pi - 3( \frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = 3\pi - \pi + \frac{3 \sqrt{3} }{2} = 2\pi + \frac{3 \sqrt{3} }{2} [/tex]

Это у нас получилась площадь кругов на фото.

Площадь всего шестиугольника:

[tex]S_{ш} = \frac{3 {a}^{2} \sqrt{3} }{2} [/tex]

Если что, сторона равна диаметру.

[tex]S_{ш} = \frac{3 \times {2}^{2} \sqrt{3} }{2} = \frac{3 \times 4 \sqrt{3} }{2} = 6 \sqrt{3} [/tex]

Теперь отнимем от всей площади шестиугольника площадь кругов.

[tex]6 \sqrt{3} - (2\pi + \frac{3 \sqrt{3} }{2} ) = \frac{9 \sqrt{3} }{2} - 2\pi[/tex]

Ответ: b)

Verified answer

Правильный шестиугольник можно разбить на правильные треугольники. Задача решается на сетке из равносторонних треугольников.

ABCD - ромб с углом 120°, угол BAD=60°

Понимаем, что точки D и Е находятся в узлах сетки.

Площадь ромба ADOE равна двум единичным треугольникам

= 2 * 1/2 *1 *√3/2 =√3/2

Площадь сектора ADE единичной окружности, угол 60°

= п 1^2 /6 =п/6

Вычитая из ромба сектор получим 1/6 искомой площади.

Ответ: 6(√3/2 -п/6) =3√3 -п