Ответ: 1) Розв'язання рівняння, звідси, зводимо його до однорідного:
2sin²x + 2sinxcosx - 2cos²x = 1
Спростимо вираз, використовуючи тригонометричні тотожності:
2sin²x + 2sinxcosx - 2(1 - sin²x) = 1
2sin²x + 2sinxcosx - 2 + 2sin²x = 1
4sin²x + 2sinxcosx - 3 = 0
Тепер зводимо до однорідного рівняння, підставивши sinx = t:
4t² + 2t(1 - t²) - 3 = 0
4t² + 2t - 2t³ - 3 = 0
Перепишемо рівняння у зворотному порядку:
-2t³ + 4t² + 2t - 3 = 0
Застосуємо метод перебору значень t, щоб знайти його корені:
t = 1 є розв'язком рівняння.
Розділимо рівняння на (t - 1):
(-2t³ + 4t² + 2t - 3) / (t - 1) = 0
Залишившись з квадратного тричлена, отримуємо:
-2t² + 2t + 3 = 0
Тепер можна розв'язати це квадратне рівняння:
t² - t - 3/2 = 0
Застосуємо квадратне рівняння:
t = (1 ± √(1 + 4(3/2))) / 2
t = (1 ± √(1 + 6)) / 2
t = (1 ± √7) / 2
Отже, маємо три значення t: 1, (1 + √7)/2 та (1 - √7)/2.
Підставимо ці значення t у вираз sinx = t, щоб знайти відповідні значення x:
Для t = 1: sinx = 1 => x = π/2 + 2πk, де k - ціле число.
Для t = (1 + √7)/2: sinx = (1 + √7)/2 => x = arcsin((1 + √7)/2) + 2πk або x = π - arcsin((1 + √7)/2) + 2πk, де k - ціле число.
2) Знайдемо корені рівняння tgx - 3ctgx + 2 = 0, які належать проміжку (0, π/2).
Для зручності позначимо ctgx як 1/tgx:
tgx - 3/tgx + 2 = 0
Помножимо всі члени рівняння на tgx, щоб позбутися дробів:
(tgx)² - 3 + 2(tgx) = 0
Позначимо tgx як t:
t² - 3 + 2t = 0
t² + 2t - 3 = 0
Тепер ми маємо квадратне рівняння. Розв'яжемо його:
(t + 3)(t - 1) = 0
t + 3 = 0 або t - 1 = 0
t = -3 або t = 1
Повертаємося до змінної tgx:
tgx = -3 або tgx = 1
Для tgx = -3:
x = arctg(-3) + kπ, де k - ціле число.
Для tgx = 1:
x = arctg(1) + kπ, де k - ціле число.
На проміжку (0, π/2) будуть належати тільки ті значення x, для яких tgx > 0. Тому ми виключаємо розв'язок x = arctg(-3) + kπ, оскільки tgx < 0.
Таким чином, корені рівняння tgx - 3ctgx + 2 = 0, які належать проміжку (0, π/2), є:
Объяснение:
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ: 1) Розв'язання рівняння, звідси, зводимо його до однорідного:
2sin²x + 2sinxcosx - 2cos²x = 1
Спростимо вираз, використовуючи тригонометричні тотожності:
2sin²x + 2sinxcosx - 2(1 - sin²x) = 1
2sin²x + 2sinxcosx - 2 + 2sin²x = 1
4sin²x + 2sinxcosx - 3 = 0
Тепер зводимо до однорідного рівняння, підставивши sinx = t:
4t² + 2t(1 - t²) - 3 = 0
4t² + 2t - 2t³ - 3 = 0
Перепишемо рівняння у зворотному порядку:
-2t³ + 4t² + 2t - 3 = 0
Застосуємо метод перебору значень t, щоб знайти його корені:
t = 1 є розв'язком рівняння.
Розділимо рівняння на (t - 1):
(-2t³ + 4t² + 2t - 3) / (t - 1) = 0
Залишившись з квадратного тричлена, отримуємо:
-2t² + 2t + 3 = 0
Тепер можна розв'язати це квадратне рівняння:
t² - t - 3/2 = 0
Застосуємо квадратне рівняння:
t = (1 ± √(1 + 4(3/2))) / 2
t = (1 ± √(1 + 6)) / 2
t = (1 ± √7) / 2
Отже, маємо три значення t: 1, (1 + √7)/2 та (1 - √7)/2.
Підставимо ці значення t у вираз sinx = t, щоб знайти відповідні значення x:
Для t = 1: sinx = 1 => x = π/2 + 2πk, де k - ціле число.
Для t = (1 + √7)/2: sinx = (1 + √7)/2 => x = arcsin((1 + √7)/2) + 2πk або x = π - arcsin((1 + √7)/2) + 2πk, де k - ціле число.
2) Знайдемо корені рівняння tgx - 3ctgx + 2 = 0, які належать проміжку (0, π/2).
Для зручності позначимо ctgx як 1/tgx:
tgx - 3/tgx + 2 = 0
Помножимо всі члени рівняння на tgx, щоб позбутися дробів:
(tgx)² - 3 + 2(tgx) = 0
Позначимо tgx як t:
t² - 3 + 2t = 0
t² + 2t - 3 = 0
Тепер ми маємо квадратне рівняння. Розв'яжемо його:
(t + 3)(t - 1) = 0
t + 3 = 0 або t - 1 = 0
t = -3 або t = 1
Повертаємося до змінної tgx:
tgx = -3 або tgx = 1
Для tgx = -3:
x = arctg(-3) + kπ, де k - ціле число.
Для tgx = 1:
x = arctg(1) + kπ, де k - ціле число.
На проміжку (0, π/2) будуть належати тільки ті значення x, для яких tgx > 0. Тому ми виключаємо розв'язок x = arctg(-3) + kπ, оскільки tgx < 0.
Таким чином, корені рівняння tgx - 3ctgx + 2 = 0, які належать проміжку (0, π/2), є:
x = arctg(1) + kπ, де k - ціле число.
Объяснение: