Ответ:

Для розв'язання даного диференціального рівняння 2-го порядку, що допускає пониження порядку, спочатку позначимо y' як нову змінну:

y' = v.

Тоді, застосовуючи цю заміну, отримаємо:

y'' = (dv/dx).

Підставляючи це у вихідне рівняння, отримуємо:

(dv/dx) = Inx.

Тепер ми маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку, яке можна легко розв'язати. Інтегруємо обидві частини рівняння:

∫(dv/dx) dx = ∫Inx dx.

Отримуємо:

v = ∫Inx dx.

Для знаходження виразу для v, використаємо формулу інтегрування за частинами:

∫u dv = uv - ∫v du.

Оберемо u = Inx та dv = dx, тоді du = (1/x) dx та v = x.

Підставляючи ці значення, отримаємо:

∫Inx dx = xInx - ∫x (1/x) dx.

Спрощуємо вираз:

∫Inx dx = xInx - ∫dx = xInx - x + C,

де C - довільна константа.

Таким чином, отримали вираз для v:

v = xInx - x + C.

Тепер, щоб знайти розв'язок вихідного рівняння, потрібно знайти y. Для цього інтегруємо v:

y = ∫v dx.

Підставляємо вираз для v:

y = ∫(xInx - x + C) dx.

Знову використовуємо формулу інтегрування за частинами:

∫u dv = uv - ∫v du.

Оберемо u = xInx - x + C та dv = dx, тоді du = (Inx) dx та v = x.

Підставляємо ці значення та обчислюємо інтеграл:

y = ∫(xInx - x + C) dx = ∫(xInx) dx - ∫(x dx) + ∫(C dx).

Знову спрощуємо вираз:

y = ∫(xInx) dx - ∫(x dx) + ∫(C dx) = x^2(Inx - 1) + Cx + D,

де D - ще одна довбільна константа.

Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку y" = Inx має вигляд:

y = x^2(Inx - 1) + Cx + D,

де C і D - довільні константи.

Будь ласка, зверніть увагу, що в даному розв'язку використано метод пониження порядку, де ми вводимо нову змінну v = y' для отримання лінійного диференціального рівняння першого порядку. Згодом, інтегруючи це рівняння, ми отримуємо загальний розв'язок у вигляді функції y(x).