Ответ:

Первообразная функции [tex]\displaystyle f(x)=16x^3+e^{\frac{x}{2} }[/tex], график которой проходит через точку B(1;2√e), будет иметь вид:

[tex]\displaystyle F(x)=4x^4+2e^{\frac{x}{2}}-4 }[/tex]

Объяснение:

Найти первообразную функции [tex]\displaystyle f(x)=16x^3+e^{\frac{x}{2} }[/tex], график которой проходит через точку B(1; 2√e).

Воспользуемся формулами нахождения первообразных:

[tex]\displaystyle \boxed {f(x)=x^n,\;n\neq -1\; \;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;\;F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C }\\\\ \boxed{f(x)=e^{kx+b},\;k\neq 0\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;F(x)=\frac{1}{k}e^{kx+b}+C }[/tex]

Найдем первообразную:

[tex]\displaystyle F(x)=16\cdot{\frac{x^4}{4}+\frac{1}{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2} }} } +C}=\\\\=4x^4+2e^{\frac{x}{2}}+C }[/tex]

Теперь найдем С.

Известно, что график первообразной проходит через точку B(1;2√e).

• Если точка принадлежит графику, то, подставив ее координаты в данную функцию, получим верное равенство.

[tex]\displaystyle 2\sqrt{e} = 4\cdot1+2e^{\frac{1}{2}}+C\\2\sqrt{e}-4-2\sqrt{e}=C\\ \\ C=-4[/tex]

Первообразная функции  [tex]\displaystyle f(x)=16x^3+e^{\frac{x}{2} }[/tex], график которой проходит через точку B(1;2√e), будет иметь вид:

[tex]\displaystyle F(x)=4x^4+2e^{\frac{x}{2}}-4 }[/tex]

#SPJ1