Докажите, что угол BAC равен углу CAT. Всё что нам дано: рисунок, BC=AD/2, CT=TD. На рисунке используйте лишь расположение точек, т.е. на надо писать что трапеция ABCD равнобедренная, потому что она выглядит как равнобедренная, хотя она действительно равнобедренная, но это нужно доказать)
Answers & Comments
Verified answer
1. Проведем среднюю линию трапеции ТМ, которая пересечет диагональ трапеции AC в точке Q. Рассмотрим треугольник АМТ. В нем сторона АМ=AB/2 = R/2 (так как МТ - средняя линия трапеции). Сторона АТ=R. Следовательно, АМ/АТ = (R/2)/R = 1/2.
МQ=BC/2 (так как MQ - средняя линия треугольника АВС).
QT=AD/2=BC/4 (средняя линия треугольника АСD. Тогда MQ/QT=(BC/2)/(BC/4)=1/2.
Отрезок AQ является биссектрисой угла АМТ по свойству биссектрисы: "биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам". В нашем случае: АМ/АТ=MQ/QT => AQ - биссектриса угла АМТ.
Следовательно, <BAC=<CAT, что и требовалось доказать.
2. Треугольники АВС и АСТ равны по двум сторонам и углу между ними (<BAC=<CAT - доказано выше, АВ=АТ - радиусы, АМ - общая). => ВС=СТ. => CD=AD (так как CD и AD равны 2*ВС). АВ=AD как радиусы. => AB=CD, то есть трапеция ABCD равнобедренная, что и требовалось доказать.