Заметим, что [tex]$x^2 + y^2 \leq 2x + 2y-1\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$[/tex] - окружность с центром в точке [tex]$(1,1)$[/tex] и радиусом [tex]$1$[/tex].
Пусть [tex]$y-x=k$[/tex] - прямая в системе координат, легко найти, когда прямая является большей касательной к окружности, [tex]k[/tex] - наибольшая
antonovm
Да , ещё можно вообще без геометрии решить , подставить в неравенство y = x +k , решить D >= 0 ( 1 ) и найти наибольшее к , при котором неравенство (1) выполняется
antonovm
к - ордината точки пересечения прямой с осью OY и она максимальна , если прямая является " верхней касательной " к окружности , вот сейчас это видно
Answers & Comments
Verified answer
Заметим, что [tex]$x^2 + y^2 \leq 2x + 2y-1\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$[/tex] - окружность с центром в точке [tex]$(1,1)$[/tex] и радиусом [tex]$1$[/tex].
Пусть [tex]$y-x=k$[/tex] - прямая в системе координат, легко найти, когда прямая является большей касательной к окружности, [tex]k[/tex] - наибольшая
[tex]y=k+x\Rightarrow (x-1)^2+(x+k-1)^2=1\Leftrightarrow 2x^2+(2k-4)x+k^2-2k+1=0\\D_x=(2k-4)^2-4\cdot 2\left ( k^2-2k+1 \right )=-4k^2+8[/tex]
Чтобы уравнение имело только одно решение, так как нам нужна точка касания прямой к окружности, то дискриминант должен равняться нулю
[tex]-4k^2+8=0\Leftrightarrow k^2=2\overset{k > 0}{\Rightarrow }k=\sqrt{2}[/tex]