Данное неравенство выполняется, так как [tex]$(x-2)^2 + 3 \ge 3$[/tex] и [tex]$(y+1)^2 + 5 \ge 5$[/tex]. Но для того, чтобы было равенство, оба этих неравенства должны быть равенствами. Значит, [tex]$(x-2)^2 = (y+1)^2 = 0$[/tex], то есть [tex](x,y)=(2,-1)[/tex], а значит [tex]xy=-2[/tex]
Объясню момент, почему [tex]$(x-2)^2 + 3 \ge 5$[/tex] и [tex]$(y+1)^2 + 5 \ge 3$[/tex] не будет
Неравенство утверждает, что для любого [tex]$a \in \mathbb{R}, \; a^2 \ge 0$[/tex] с равенством при [tex]$a = 0$[/tex]. Используя это с [tex]$x-2$[/tex] и [tex]$y+1$[/tex], получаем неравенства [tex]$(x-2)^2\ge 0$[/tex] и [tex]$(y+1)^2\ge 0$[/tex]. Следовательно, [tex]$$(x-2)^2 + 3 \ge 3$$ и $$(y+1)^2 + 5 \ge 5$$[/tex]
Поскольку все задействованные члены положительны, мы можем перемножить эти два неравенства, чтобы получить [tex]$\left ((x-2)^2 + 3 \right )\left ((y+1)^2 + 5 \right ) \ge 15$$[/tex]
Однако нам известно, что левая часть на самом деле равна [tex]15[/tex], поэтому у нас должно быть [tex]$(x-2)^2 + 3 = 3$[/tex] и [tex]$(y+1)^2 + 5 = 5$[/tex]
В качестве альтернативы вы можете расширить выражение [tex]$0 = ((x-2)^2 + 3)((y+1)^2 + 5) - 15$[/tex], чтобы получить [tex]$0=(x-2)^2(y+1) ^2 + (x-2)^2 + (y+1)^2$[/tex]. Мы снова знаем из неравенства, что все три члена в правой части неотрицательны, поэтому все они должны быть равны [tex]$0$[/tex], чтобы это уравнение выполнялось
Answers & Comments
Verified answer
[tex]\mathrm{LHS}=\left ( (x-2)^2+3 \right )\left ( (y+1)^2+5 \right )\geq 15[/tex]
Данное неравенство выполняется, так как [tex]$(x-2)^2 + 3 \ge 3$[/tex] и [tex]$(y+1)^2 + 5 \ge 5$[/tex]. Но для того, чтобы было равенство, оба этих неравенства должны быть равенствами. Значит, [tex]$(x-2)^2 = (y+1)^2 = 0$[/tex], то есть [tex](x,y)=(2,-1)[/tex], а значит [tex]xy=-2[/tex]
Объясню момент, почему [tex]$(x-2)^2 + 3 \ge 5$[/tex] и [tex]$(y+1)^2 + 5 \ge 3$[/tex] не будет
Неравенство утверждает, что для любого [tex]$a \in \mathbb{R}, \; a^2 \ge 0$[/tex] с равенством при [tex]$a = 0$[/tex]. Используя это с [tex]$x-2$[/tex] и [tex]$y+1$[/tex], получаем неравенства [tex]$(x-2)^2\ge 0$[/tex] и [tex]$(y+1)^2\ge 0$[/tex]. Следовательно, [tex]$$(x-2)^2 + 3 \ge 3$$ и $$(y+1)^2 + 5 \ge 5$$[/tex]
Поскольку все задействованные члены положительны, мы можем перемножить эти два неравенства, чтобы получить [tex]$\left ((x-2)^2 + 3 \right )\left ((y+1)^2 + 5 \right ) \ge 15$$[/tex]
Однако нам известно, что левая часть на самом деле равна [tex]15[/tex], поэтому у нас должно быть [tex]$(x-2)^2 + 3 = 3$[/tex] и [tex]$(y+1)^2 + 5 = 5$[/tex]
В качестве альтернативы вы можете расширить выражение [tex]$0 = ((x-2)^2 + 3)((y+1)^2 + 5) - 15$[/tex], чтобы получить [tex]$0=(x-2)^2(y+1) ^2 + (x-2)^2 + (y+1)^2$[/tex]. Мы снова знаем из неравенства, что все три члена в правой части неотрицательны, поэтому все они должны быть равны [tex]$0$[/tex], чтобы это уравнение выполнялось