Ответ:

Для визначення обсягів використання праці і капіталу, при яких випуск продукції буде максимальним, потрібно знайти показник економії факторів виробництва:

E = Q/(L^0.3 * K^0.7)

Запишемо бюджет підприємства в загальному вигляді:

P_L * L + P_K * K = 2000

Підставимо значення цін та технології:

30L + 50K = 2000

L = (2000 - 50K)/30

Підставимо це значення в формулу економії факторів:

E(K) = Q/[(2000 - 50K)/30]^0.3 * K^0.7

Для максимізації випуску продукції, потрібно знайти максимум цієї функції. Для цього можна використати метод диференційованого підрахунку:

E'(K) = 0

Знайдемо похідну функції:

E'(K) = (0.7 * Q)/[(2000 - 50K)/30]^0.3 * K^1.7 - (0.3 * Q * 50)/[(2000 - 50K)/30]^1.3 * K^0.7

Прирівнюємо до нуля:

0.7 * K = 10 * (2000 - 50K)/30

21K = 20000 - 500K

521K = 20000

K ≈ 38.37

Отже, оптимальний обсяг використання капіталу дорівнює приблизно 38,37 одиницям. Підставимо це значення в формулу для визначення обсягу використання праці:

L = (2000 - 50K)/30 ≈ 27.21

Отже, оптимальний обсяг використання праці дорівнює приблизно 27,21 одиницям.

Якщо ціна капіталу зросте в 3 рази, тоді ціна на капітал становитиме 150 грн. Запишемо бюджет підприємства з новими цінами:

30L + 150K = 2000

L = (2000 - 150K)/30

Підставимо ці значення в формулу економії факторів:

E(K) = Q/[(2000 - 150K)/30]^0.3 * K^0.7

Порівнюючи цю формулу з попередньою, бачимо, що єдине, що змінилося - це зміна ціни на капітал. Отже, можемо записати:

E(K) = [(50/150)^0.3 * Q]/[(2000/150 - K)/30]^0.3 * K^0.7

E(K) = [(1/3)^0.3 * Q]/[(2000/150 - K)/30]^0.3 * K^0.7

Отже, капіталоозброєність праці зменшиться, тому що використання капіталу стане менш доцільним через зростання ціни.