Если число а заканчивается цифрой 7, то

а² заканчивается на 9, т.к. 7²=49,

а³ заканчивается на 3, т.к. 9*7=63,

а⁴ заканчивается на 1, т.к. 3*7=21,

а⁵ как и а¹ тоже заканчивается на 7, т.к. 1*7=7. С этого моменты младшие цифры степеней числа а будут повторяться с периодом 4. Т.к. 2017 заканчивается на 7, а 2016 делится на 4, то последняя цифра числа 2017²⁰¹⁶ будет такой же, как и последняя цифра в первом периоде, т.е. равна 1.