Решение.

 [tex]\bf e^{z-1}=cosx\cdot cosy+1\ \ ,\ \ M(\, 0\, ;\, \dfrac{\pi}{2}\, ;\, 1\, )[/tex]  

Выразим функцию   [tex]\bf z(x,y)[/tex]  .

 [tex]\bf z-1=ln(cosx\cdot cosy+1)\\\\z=1+ln(cosx\cdot cosy+1)\\\\\\z'_{x}=\dfrac{1}{cosx\cdot cosy+1}\cdot cosy\cdot (-sinx)=-\dfrac{sinx\cdot cosy}{cosx\cdot cosy+1}\\\\z'_{y}=\dfrac{1}{cosx\cdot cosy+1}\cdot cosx\cdot (-siny)=\dfrac{cosx\cdot siny}{cosx\cdot cosy+1}[/tex]  

Вычислим значения производных в точке М .

[tex]\bf z'_{x}(M)=\dfrac{sin0\cdot cos\frac{\pi}{2}}{cos0\cdot cos\frac{\pi}{2}+1}=\dfrac{0\cdot 0}{1\cdot 0+1}=0\\\\\\z'_{x}(M)=\dfrac{cos0\cdot sin\frac{\pi}{2}}{cos0\cdot cos\frac{\pi}{2}+1}=\dfrac{1\cdot 1}{1\cdot 0+1}=\dfrac{1}{1}=1[/tex]  

Сумма   [tex]\bf z'_{x}(M)+z'_{y}(M)=0+1=1[/tex]