Ответ:

[tex]\boldsymbol {x(t)=2e^t-t^2-2t -2}[/tex]

Объяснение:

Здесь условие  x'(0)=1 лишнее.

Решаем без него.

Умножим все части уравнения на   [tex]\displaystyle \boldsymbol {e^{-t}}[/tex]

[tex]\displaystyle x'e^{-t}-e^{-t}*x=e^{-t}*t^2\qquad [\;-e^{-t}= (e^{-t})'\; ]\\\\\\x'e^{-t}+(e^{-t})'*x=e^{-t}*t^2\\\\\\(x*e^{-t})' = e^{-t}*t^2\\\\\\\int(x*e^{-t})'dt = \int e^{-t}*t^2\;dt\\\\\\x*e^{-t} = \int e^{-t}*t^2 \;dt[/tex]

Теперь будем разбираться с интегралом в правой части уравнения

[tex]\displaystyle \int {t^2e^{-t}} \, dt =\left[\begin{array}{ccc}f=t^2&&df = 2tdt\\&&\\dg=e^{-t}dt&&g=-e^{-t}\end{array}\right] =-e^{-t}t^2+2\int e^{-t}\; dt=\\\\\\=-t^2e^{-t}+2\left[\begin{array}{ccc}f=t&&df=dt\\&&\\dg=e^{-t}dt&&g =-e^{-t}\end{array}\right] =-t^2e^{-t}-2te^{-t}+2\int e^{-t}\;dt=\\\\\\=-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}+C=-e^{-t}\bigg(t^2+2t+2\bigg)+C[/tex]

В результате мы получили

[tex]\displaystyle xe^{-t} = e^{-t}\bigg(-t^2-2t-2\bigg)+C\\\\x=-t^2-2t-2+Ce^t\\\\x= (0) = 0\\\\0=-0^2-2*0-2+C*e^0\\\\C=2\\\\\boxed {x(t)=2e^t-t^2-2t -2}[/tex]

#SPJ1