Ответ:

[tex]y(x)=\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}[/tex]

Объяснение:

[tex]y''(x)\cdot y(x)^3=1[/tex]

[tex]\displaystyle \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}\cdot y(x)^3=1\\\\\dfrac{d\,y(x)}{dx}\cdot \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}=\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot y(x)^3}\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{dx}\cdot \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}\,dx=\int\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot y(x)^3}\,dx\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{dx}\cdot \dfrac{d^2\,y(x)}{dx^2}\,dx=\int\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot y(x)^3}\,dx\\\\\dfrac{1}{2}\cdot\Bigg(\dfrac{d\,y(x)}{dx}\Bigg)^2=c_1-\dfrac{1}{2\,y(x)^2}\\\\\\\dfrac{d\,y(x)}{dx}\Bigg\,=\pm\sqrt{c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}[/tex]

Нашли производную [tex]y'(x)[/tex], подставим и найдем константу [tex]c_1[/tex]

[tex]1=\sqrt{c_1-\dfrac{1}{1^2}} ~\Leftrightarrow~c_1=2[/tex]

Продолжаем решать

[tex]\displaystyle \dfrac{d\,y(x)}{dx}\Bigg\,=\pm\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}\\\\\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}}\Bigg\,=\pm1\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{dx\cdot\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}}\Bigg\,dx=\int\pm dx\\\\\int\dfrac{d\,y(x)}{\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}}\Bigg\,=\pm x+c_2\\\\\\\dfrac{\sqrt{2c_1-\dfrac{1}{y(x)^2}}\cdot y(x)}{2c_1}=\pm x+c_2[/tex]

Можем выразить функцию

[tex]y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{c_1^2x^2+2c_2c_1^2x+c_2^2c_1^2+1}{c_1}}[/tex]

Найдем [tex]c_2[/tex]

[tex]y\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=1=\sqrt{\dfrac{4\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2+8c_2+4c_2^2+1}{2}}\\\\1+4c_2+2c_2^2=1\\c_2^2+2c_2+\dfrac{1}{4}=0\\\\ c_2=-2,~c_2=0[/tex]

Итого получили частные решения

[tex]y(x)=\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}\\\\y(x)=\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{2}}=\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}[/tex]

Решения абсолютно одинаковые, запишем ответ

[tex]\boxed{\sqrt{2x^2+\dfrac{1}{2}}}[/tex]