Воспользуемся подведением под знак дифференциала:

[tex]\int f(x)g'(x)dx=\int f(x)d(g(x))[/tex]

А именно следующей формулой:

[tex]d\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{dx}{x^2}[/tex]

Получим:

[tex]\int\limits {\cos\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{dx}{x^2}=-\int\limits {\cos\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{dx}{x^2}\right)=-\int\limits {\cos\dfrac{1}{x}d\left(\dfrac{1}{x}\right)=\boxed{-\sin\dfrac{1}{x} +C}[/tex]