Verified answer

[tex]b_{11}-b_5=21(b_7-b_5)\\S_{8}=1020\\b_4= \;?[/tex]

[tex]b_1q^{10}-b_1q^{4}=21b_1q^6-21b_1q^4\\q^{10}-q^4=21q^6-21q^4\\q^6-1=21q^2-21\\q^6-21q^2+20=0[/tex]

[tex](q^2)^3-21q^2+20=0\\[/tex]

Сделаем замену [tex]q^2=p[/tex]

[tex]p^3-21p+20=0[/tex]

Корень  [tex]p=1[/tex] сразу подбирается, далее разделим уголком этот трёхчлен на двучлен [tex](p-1)[/tex] (см. фото):

[tex]p^3-21p+20=(p-1)(p^2+p-20)=0[/tex]

Решим квадратное уравнение:

[tex]p^2+p-20=0\\D=(-1)^2+4 \cdot 20=81\\p_1=\dfrac{-1+9}{2}=4\\p_2=\dfrac{-1-9}{2}=-5[/tex]

Отрицательный корень не подходит, т. к. [tex]p=q^2 > 0[/tex]:

[tex]q^2=4\\q_1=2\\q_2=-2[/tex]

Первый случай q=2:

[tex]S_{8}=\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\dfrac{b_1(2^8-1)}{2-1}=b_1(256-1)=255b_1=1020\\b_1=4\\b_4=b_1q^3=4\cdot 2^3=4 \cdot 8=32[/tex]

Второй случай q=-2:

[tex]S_8=\dfrac{b_1((-2)^8-1)}{-2-1}=-\dfrac{255}{3}b_1=1020\\-\dfrac{1}{3}b_1=4\\b_1=-12\\b_4=b_1q^3=-12 \cdot (-2)^3=12 \cdot 8=96[/tex]

Ответ: 32 либо 96.

[tex]\displaystyle\bf\\\frac{b_{11} - b_{5} }{b_{7} -b_{5} } =21\\\\\\\frac{b_{1} \cdot q^{10} -b_{1} \cdot q^{4} }{b_{1} \cdot q^{6}-b_{1} \cdot q^{4} } =21\\\\\\\frac{b_{1} q^{4}\cdot(q^{6} -1) }{b_{1} q^{4} \cdot(q^{2} -1)} =21\\\\\\\frac{(q^{2} )^{3} -1^{3} }{q^{2} -1} =21\\\\\\\frac{(q^{2} -1)(q^{4} +q^{2} +1)}{q^{2} -1} =21[/tex]

[tex]\displaystyle\bf\\q^{4} +q^{2} +1=21\\\\q^{4} +q^{2} -20=0\\\\q^{2} =m \ \ , \ \ m > 0 \\\\m^{2} +m-20=0\\\\Teorema \ Vieta \ :\\\\m_{1} =4\\\\m_{2} =-5 < 0-neyd\\\\q^{2} =4\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}q_{1} =-2\\q_{2} =2\end{array}\right[/tex]

[tex]\displaystyle\bf\\S_{8} =1020\\\\1) \ \ q=-2\\\\\\S_{8} =\frac{b_{1} \cdot(q^{8} -1)}{q-1} =\frac{b_{1} \cdot(256-1)}{-2-1} =\frac{b_{1} \cdot 255}{-3} =-85b_{1} \\\\\\-85b_{1} =1020\\\\b_{1} =-12\\\\b_{4} =b_{1} \cdot q^{3} =-12\cdot (-2)^{3} =-12\cdot (-8)=96\\\\\\2) \ \ q=2[/tex]

[tex]\displaystyle\bf\\S_{8} =\frac{b_{1} \cdot(q^{8} -1)}{q-1} =\frac{b_{1} \cdot(256-1)}{2-1} =\frac{b_{1} \cdot 255}{1} =255b_{1} \\\\\\255b_{1} =1020\\\\b_{1} =4\\\\b_{4} =b_{1} \cdot q^{3} =4\cdot 2^{3} =4\cdot 8=32\\\\\\Otvet \ : \ b_{4} = 96 \ \ ili \ \ b_{4} =32[/tex]