Даю 25 баллов!!!
В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 16. Ребро SA перпендикулярна к основанию пирамиды. Радиус описанной около пирамиды окружности равен 12. Найдите радиус окружности, вписанную в данную пирамиду.
В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 16. Ребро SA перпендикулярна к основанию пирамиды. Радиус описанной около пирамиды окружности равен 12. Найдите радиус окружности, вписанную в данную пирамиду.
Answers & Comments
Verified answer
Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):
r=ab/(a+b+c)=(a+b-c)/2
Центр вписанной сферы находится на пересечении плоскостей, проходящих через биссектрисы двугранных углов.
Для данной пирамиды радиус сферы совпадает с радиусом вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами, равными высоте пирамиды и стороне основания.
Находим гипотенузу такого треугольника.
Для данной пирамиды она равна ребру SD.
Сначала находим высоту Н пирамиды из заданного радиуса описанной сферы R = 12.
Н = √((2*12)² - (16*√2)²) = √(576 – 512) = 64 = 8.
Теперь находим SD = √(8² + 16²) = √(64 + 256) = √320 = 8√5.
Отсюда получаем ответ.
Pадиус вписанной сферы равен r = (8 + 16 - 8√5)/2 = 12 - 4√5 ≈ 3,05573.