Ответ: 1) Масса Юпитера больше массы Земли в 311 раз.

2) Средняя плотность вещества планеты = 2,7 г/см³

Объяснение: 1)  Дано:

Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток = 655,2 часа

Радиус орбиты Луны а1 = 3,844*10^5 км

Период обращения Амальтеи T2 =12 часов  

Радиус орбиты Амальтеи а2 = 1,81*10^5 км

Масса Земли    – М1

Масса Юпитера  – М2

Найти во сколько раз масса Юпитера больше массы Земли М2/М1– ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них,  и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³,  здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел;  а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

 Так как обычно массы спутников  малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что

М2/М1 = Т1²*а2³/Т2²*а1³ = 655,2²*(1,81*10^5)³/12²*3,844*10^5³ ≈

≈ 311,22.          С учетом требования округления  М2/М1 = 311.

2)     Дано:

Время оборота модуля равно T=2ч = 7200 с

Гравитационная постоянная G = 6,67*10^-11 м³/кг*с²

Радиус планеты  - R

Масса планеты  -  М

Найти среднюю плотность вещества планеты   ρ  - ?

Ускорение свободного падения у поверхности  планеты определяется выражением:       g  =  G*M/R²    ______ (1)

Что бы тело двигалось по окружности на него должно действовать центростремительное ускорение равное:

                                       а = U²/R    _____  (2)

Орбитальная скорость космического модуля  U = 2πR/Т.  

Квадрат скорости       U² = 4π²R²/Т²   ____________  (3)

С учетом (3) выражение (2)  примет вид:

                                    а =4π²R/Т²    ______________  (4)

Поскольку при полете на орбите ускорение свободного падения является центростремительным ускорением, то можно записать уравнение  g = а . С учетом выражений (1) и (4) последнее уравнение примет вид:

                               G*M/R² = 4π²R/Т² ______________ (5)

Из (5) выразим массу планеты  М = 4π²R³/GТ²  _____ (6)

Так как планета имеет шарообразную форму, то её объем  равен:                                         V = 4π R³/3     _______  (7)

Плотность вещества планеты определяется выражением

                                                ρ = М/V

С учетом (6) и (7)  ρ = 3π/GТ² =  3π/6,67*10^-11*7200² ≈ 2725,714 кг/м³ = 2,7 г/см³