Verified answer

D=1+4=5

tgx=(1-√5)/2   или   tgx=(1+√5)/2

x=arctg((1-√5)/2)+πk, k∈Z   или  x=arctg((1+√5)/2)+πn, n∈Z  

Замена

tgx+ctgx=t

Возводим в квадрат

tg²x+2tgx·ctgx+ctg²x=t²

Так как

tgx·ctgx=1, то

tg²x+ctg²x=t²-2

t²-2-3t+4=0

t²-3t+2=0

D=(-3)²-4·2=1

t=1   или   t=2

Обратная замена

tgx+ctgx=1

ctgx=1/tgx

tg²x-tgx+1=0

D=1-4<0

Уравнение не имеет корней

ИЛИ

tgx+ctgx=2

tg²x-2tgx+1=0

(tgx-1)²=0

tgx-1=0

tgx=1

x=(π/4)+πk, k∈Z  -  о т в е т