Формула косинуса двойного угла:

[tex]\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1[/tex]

Рассмотрим уравнение:

[tex]2\cos^210x - 6\cos^25x + 1 = 0[/tex]

[tex]2(2\cos^25x-1)^2 - 6\cos^25x + 1 = 0[/tex]

[tex]2(4\cos^45x-4\cos^25x+1) - 6\cos^25x + 1 = 0[/tex]

[tex]8\cos^45x-8\cos^25x+2 - 6\cos^25x + 1 = 0[/tex]

[tex]8\cos^45x-14\cos^25x+3 = 0[/tex]

Решаем квадратное уравнение относительно квадрата косинуса:

[tex]D_1=(-7)^2-8\cdot3=49-24=25[/tex]

[tex]\cos^25x=\dfrac{7+\sqrt{25} }{8} =\dfrac{12}{8} =\dfrac{3}{2}[/tex]

Так как косинус принимает значения из отрезка [tex][-1;\ 1][/tex], то квадрат косинуса принимает значения из отрезка [tex][0;\ 1][/tex]. Следовательно, значение [tex]\dfrac{3}{2}[/tex] квадрат косинуса принимать не может.

[tex]\cos^25x=\dfrac{7-\sqrt{25} }{8} =\dfrac{2}{8} =\dfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\cos5x=\pm\dfrac{1}{2}[/tex]

Решаем два простых уравнения:

[tex]\cos5x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow 5x=\pm\arccos\dfrac{1}{2} +2\pi n \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow 5x=\pm\dfrac{\pi }{3} +2\pi n \Rightarrow x_1=\pm\dfrac{\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} , \ n\in\mathbb{Z}[/tex]

[tex]\cos5x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow 5x=\pm\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) +2\pi n \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow 5x=\pm\dfrac{2\pi }{3} +2\pi n \Rightarrow x_2=\pm\dfrac{2\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} , \ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Ответ: [tex]\pm\dfrac{\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} ;\ \pm\dfrac{2\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} , \ n\in\mathbb{Z}[/tex]