Verified answer

Ответ:

a) Починаємо зі складеної функції y = u³, де u = 2x⁴ + 5x. Застосуємо правило ланцюжків для знаходження похідної:

(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)

Для першої частини маємо:

(dy/du) = 3u²

Для другої частини маємо:

(du/dx) = 8x³ + 5

Застосовуючи ці дві формули, отримаємо:

(dy/dx) = 3(2x⁴ + 5x)²(8x³ + 5)

Таким чином, похідна складеної функції y = (2x⁴ + 5x)³ дорівнює 3(2x⁴ + 5x)²(8x³ + 5).

б) Почнемо зі складання функцій:

f(x) = 5/6x^2 + 12x

g(x) = x

Отже, y = f(g(x)) = 5/6g(x)^2 + 12g(x) = 5/6x^2 + 12x.

Тепер знайдемо похідну цієї складеної функції за правилом ланцюгового диференціювання:

y' = f'(g(x)) * g'(x)

Для початку, знайдемо похідну f(x):

f'(x) = d/dx (5/6x^2 + 12x) = 10/6x + 12 = 5/3x + 12

Тепер знайдемо похідну g(x):

g'(x) = d/dx (x) = 1

Замінюємо ці значення в формулі для похідної складеної функції:

y' = f'(g(x)) * g'(x) = (5/3x + 12) * 1 = 5/3x + 12

в) Для знаходження похідної складеної функції необхідно використовувати правило ланцюгового диференціювання. За цим правилом, якщо маємо функцію вигляду f(g(x)), то похідна цієї функції дорівнює добутку похідної функції f взятій в точці g(x) та похідної функції g взятій в точці x.

Застосуємо це правило до заданої функції:

y = t^3 / (√t^3 + 2t)

Для початку знайдемо похідну функції g(t):

g(t) = √(t^3) + 2t

g'(t) = 3t^2 / (2√(t^3)) + 2

= 3t / (2√t^3) + 2

Тепер знайдемо похідну функції f(g):

f(g) = g^3

f'(g) = 3g^2

Залишилося тільки підставити значення g(t) та g'(t) в формулу ланцюгового диференціювання:

y' = f'(g(t)) * g'(t) = 3(g(t))^2 * (3t / (2√t^3) + 2)

Підставимо g(t) в це рівняння:

y' = 3(√(t^3) + 2t)^2 * (3t / (2√t^3) + 2)

Отже, похідна складеної функції дорівнює 3(√(t^3) + 2t)^2 * (3t / (2√t^3) + 2).

Объяснение: