Всем привет! У нас был тест с вопросом какой период у функции tg3x, я написала что он равен пи так как заданна функция функция тангенса. МНе это перечеркнули и сказали что это неправильно. Я потом разобралась что вроде как tg3x значит надо было разделить на 3. То есть получилось бы пи/3. Но я все равно не понимаю, надо так делить или нет. Ведь пи тоже подходит по определению периода, ну смотрите
tg(3x+пи)=пи под знаком тангенса сокращается и получается tg3x.
В общем я запуталась(( Как правильно найти период? Заранее спасибо!
Answers & Comments
Ответ:
1. Действительно, если период функции [tex]\bf y=tgx[/tex] равен [tex]\boldsymbol{T=\pi}[/tex] , то период функции [tex]\bf y=tg(kx+b)[/tex] равен [tex]\bf T_1=\dfrac{\pi}{|k|}[/tex] .
Поэтому периодом функции [tex]\bf y=tg3x[/tex] будет [tex]\boldsymbol{T_1=\dfrac{\pi }{3}}[/tex] .
2. У периодических функций можно в аргументе отбрасывать период функции и число, кратное периоду этой функции .
Действительно, для функции у=tgx имеем: [tex]\boldsymbol{tg(x+k\cdot \pi )=tgx}[/tex] .
Например, [tex]\boldsymbol{tg(x+3\pi )=tgx\ \ ,\ \ tg(x+6\pi )=tgx}[/tex] .
Так как периодом функции [tex]\bf y=tg3x[/tex] является [tex]\boldsymbol{T_1=\dfrac{\pi }{3}}[/tex] , то верно равенство [tex]\boldsymbol{tg\Big(3x+3\cdot \dfrac{\pi}{3}\Big)=tg(3x+3\cdot T_1)=tg3x}[/tex] .
Но [tex]\boldsymbol{tg\Big(3x+3\cdot \dfrac{\pi}{3}\Big)=tg\Big(3x+\pi \Big)}[/tex] , поэтому, если сравнить правые части последних двух равенств, то действительно верно равенство [tex]\boldsymbol{tg\Big(3x+\pi \Big)=tg3x}[/tex] .
Значит π - период, но не наименьший положительный . Число π кратно наименьшему положительному периоду П/3 .
Коэффициент k=3 у аргумента, влияет на сжатие к оси ОУ (вдоль оси ОХ) исходной функции y=tgx . Если придавать значения аргументу и посмотреть на график функции у=tg3x , то понятно, что нули функции у=tg3x встречаются в 3 раза чаще, чем у функции y=tgx .
[tex]x=0\ ,\ \ tg(3\cdot 0)=tg\, 0=0\\\\x=\dfrac{\pi }{3}\ ,\ \ tg3x=tg\Big(3\cdot \dfrac{\pi }{3}\Big)=tg\pi =0\\\\x=\dfrac{2\pi }{3}\ ,\ \ tg3x=tg\Big(3\cdot \dfrac{2\pi }{3}\Big)=tg(2\pi )=0\\\\x=\pi \ ,\ \ tg3x=tg(3\cdot \pi )=tg(3\pi )=0[/tex]
Так же и с остальными значениями. Они будут встречаться в 3 раза чаще у функции у=tg3x , чем у функции у=tgx .
3. Ещё можно понять, что период функции у=tg3x равен Т₁=П/3 , решив уравнение, например, такое
[tex]\boldsymbol{tg3x=\dfrac{\sqrt3}{3}\ \ \Rightarrow \ \ \ 3x=\dfrac{\pi }{6}+\pi n\ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{18}+\dfrac{\pi n}{3}\ \ ,\ \ n\in Z}[/tex]
Как видим, значение переменной х будет повторяться через [tex]\boldsymbol{\dfrac{\pi n}{3}}[/tex]
единиц . Наименьшее положительное число будет [tex]\boldsymbol{\dfrac{\pi }{3}}[/tex] при n=1 , что
соответствует периоду функции y=tg3x .