Щоб знайти критичні точки функції, потрібно спочатку обчислити її похідну та прирівняти до нуля:
f(x) = x^3/3 - x^2 - 3x
f'(x) = x^2 - 2x - 3
Тепер треба знайти значення x, при яких похідна дорівнює нулю:
x^2 - 2x - 3 = 0
Застосовуючи формулу дискримінанту, отримаємо:
D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 16
x1 = (2 + √16)/2 = 3
x2 = (2 - √16)/2 = -1
Таким чином, критичні точки функції f(x) дорівнюють 3 та -1. Щоб з'ясувати, чи є ці точки максимумами або мінімумами, потрібно дослідити знаки другої похідної:
f''(x) = 2x - 2
f''(3) = 2(3) - 2 = 4 > 0, тому x = 3 є точкою локального мінімуму.
f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4 < 0, тому x = -1 є точкою локального максимуму.
Отже, функція f(x) має локальний мінімум у точці x = 3 та локальний максимум у точці x = -1.
Answers & Comments
Ответ:
Щоб знайти критичні точки функції, потрібно спочатку обчислити її похідну та прирівняти до нуля:
f(x) = x^3/3 - x^2 - 3x
f'(x) = x^2 - 2x - 3
Тепер треба знайти значення x, при яких похідна дорівнює нулю:
x^2 - 2x - 3 = 0
Застосовуючи формулу дискримінанту, отримаємо:
D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 16
x1 = (2 + √16)/2 = 3
x2 = (2 - √16)/2 = -1
Таким чином, критичні точки функції f(x) дорівнюють 3 та -1. Щоб з'ясувати, чи є ці точки максимумами або мінімумами, потрібно дослідити знаки другої похідної:
f''(x) = 2x - 2
f''(3) = 2(3) - 2 = 4 > 0, тому x = 3 є точкою локального мінімуму.
f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4 < 0, тому x = -1 є точкою локального максимуму.
Отже, функція f(x) має локальний мінімум у точці x = 3 та локальний максимум у точці x = -1.