Объяснение:

Спочатку знайдемо довжину бісектриси BD за допомогою формули бісектриси:

BD = (2 * AB * BC * cos(B/2)) / (AB + BC), де B - кут між сторонами AB і BC.

Для знаходження кута B спочатку знайдемо косинус цього кута за допомогою теореми косинусів:

cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC), де AC - сторона, яку потрібно знайти.

Підставляючи вираз для cos(B) у формулу для BD, маємо:

BD = (2 * 3 * 5 * ((3^2 + 5^2 - AC^2) / (2 * 3 * 5))) / (3 + 5) = (30/8) * (14 - AC^2/8) = 105/4 - 15/16 * AC^2.

Далі, за умовою задачі маємо:

AD = DS - 2.

Так як BD є бісектрисою, то AD / AB = DS / BC. Звідси маємо:

AD = AB * DS / BC = (3 * (AC - 8)) / 5.

Підставляючи вирази для BD і AD у вираз для стосунку бісектриси, маємо:

BD / AD = BV / AV, де V - точка перетину бісектриси зі стороною AC.

(105/4 - 15/16 * AC^2) / (3 * (AC - 8) / 5) = 5 / AV.

Перенесемо все до лівої частини і спростимо:

AC^2 - 40AC + 128 = 0.

Розв'язавши квадратне рівняння, отримаємо:

AC = 8 або AC = 32.

Оскільки AD < DS, то маємо AC = 32.

Отже, сторона АС має довжину 32 см.