30 баллов, тема: уравнение касательной к графику, просьба объяснить досконально, непонятна тема
График функции f(x)=x^2+px+q проходит через начало координат и касается прямой
y=2x-16. Найдите наименьшее значение функции f.
График функции f(x)=x^2+px+q проходит через начало координат и касается прямой
y=2x-16. Найдите наименьшее значение функции f.
Answers & Comments
Verified answer
F(x)=x²+px+q; O(0;0)f(0)=q=0
q=0
y=2x-16
уравнение касательной
y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
y=f'(x0)*x-f'(x0)*x0+f(x0)
f'(x0)=2
f(x0)-f'(x0)*x0=-16
найдём производную f(x)
f'(x)=2x+p
2x0+p=2
p=2-2x0
x0²+p*x0-(2x0+p)*x0=-16
x0²+p*x0-2x0²-px0=-16
-x0²=-16
x0²=16
x0=±4
p1=2-2x0=2-8=-6
p2=2-2(-4)=10
1)f(x)=x²-6x
найдём координаты вершина
х1=6/2=3
f(x1)=9-6*3=9-18=-9
наименьшее значения -9
p2=10
2)f(x)=x²+10x
x2=-10/2=-5
f(x2)=25-50=-25
наименьшее значения функции -25
Verified answer
Прежде всего раз график f(х) касается прямой у=2х-16, то это означает, что у=2х-16 является касательной к f(x).График функции f(x)=x²+px+q проходит через начало координат
отсюда получаем f(0)=0
или 0=0²+р*0+q
откуда q=0
значит график функции
f(x) имеет вид f(x)=x²+px
Найдем производную f(x)=x²+px
f'(x)=2x+p
Наименьшее значение f(x) будет достигаться в точке Хмин
при f'(Xмин)=0
2Хмин+р=0 откуда Хмин= - р/2 (#)
Нам остаётся найти p
Уравнение касательной к f(x) в точке Хо
у=f(Xo)+f'(Xo)(x-Xo)
f(X0)=Xo²+pXo
f'(Xo)=2Xo+p
значит
у= (Xo²+pXo)+
+(2Xo+p)(х-Хо)=
=(2Xo+p)х+
+(Xo+pXo-2Хо²-pXo)=
=(2Xo+p)х +(-Xo²)
Наша касательная по условию:
y=2х-16
откуда, приравнивая коэффициенты при x и свободные члены, получим :
2Хо+р=2 (1)
-Xo²=-16 и(2)
из (2) получаем Xo²=16 и (Хо)1,2=±4
из (1) находим p=2-2Xo
p1=2-2*4=-6
f1(x)=x²-6x (синий график , см фото)
p2=2+2*4=10
f2(x)=x²+10x (черный график, см фото)
касательная у=2х-16 обозначена красным цветом
из (#)
Хмин= - р/2
подставляем найденные значения p в эту формулу:
(Xmin)1= -(-6)/2=3
(Xmin)2= -10/2=-5
Наименьшие значения функций:
f((Xmin)1)= 3²-6*3=-9
f((Xmin)2)=(-5)²+10(-5)=-25
(два решения)