В правильной четырехугольной пирамиде через середины двух боковых ребер проведено сечение параллельно высоте пирамиды. Найдите площадь сечения, если боковое ребро 12см, а диагональ основания 8√2 см .

Решение.

1) В ΔРОС , Т-середина РС, РО⊥ОС как высота пирамиды . Проведем ТН║РО => Н-середина ОС по т Фалеса.

НС=1/2•ОС=1/2•(1/2•√АС)=2√2 ( см).

2) Плоскость (ТКН) ║РО по признаку параллельности прямой и плоскости.

3) Через Н проведем МЕ║ВС . В ΔВСР отрезок ТК- средняя линия => ТК║МЕ=> МТКЕ равнобедренная трапеция (ТМ=КВ , тк ΔТС= ΔЕКВ).

4) S( трапеции)=1/2(ТК+МЕ)•ТН.

В основании правильной пирамиды лежит квадрат с диагональю 8√2 см. Тогда из ΔАВС , по т Пифагора х²+х²=АС², 2х²=64•2, х=8, ВС=8 см и МЕ =8 см. Тогда ТК=4 см по свойству средней линии для ΔВСР.

5) ΔРСО- прямоугольный , ОС=АС/2=4√2 . По т Пифагора РО=√(РС²-ОС²),

РО=√(12²-( 4√2)²)= √112=4√7( см)

6) ΔТСН ∼ΔРСО по двум углам

∠С-общий, ∠ТНС=∠РОС=90°=>

ТН:РО=ТС:РС , ТН=(РО*ТС):РС ,

ТН=(4√7*6):12=2√7 ( см).

7) S( трапеции)=1/2•(4+8)•2√7,

S( трапеции)=12√7 ( см²).