Ответ:

Радиус цилиндра равен половине диаметра, то есть 3 см. Общая высота коробки равна сумме высоты цилиндра и двух высот прямоугольника, образующего дно и крышку коробки. Поэтому общая высота коробки равна 3 см + 2 * h, где h - высота прямоугольника. По условию задачи, свеча касается всех граней коробки, что означает, что ее диаметр равен длине наибольшей стороны прямоугольника. Пусть эта сторона равна L, а другие две стороны равны W и H. Тогда L = 6 см, а также L = W + 2 * h и L = H + 2 * h. Решая эти уравнения относительно W и H, получим W = L - 2 * h и H = L - 2 * h.

Теперь можно найти площадь поверхности коробки. Она состоит из площадей шести прямоугольников: двух боковых (шириной W и высотой 3 см), двух противоположных (шириной L и высотой 3 см) и двух верхней и нижней граней (длиной L и шириной W). Таким образом, площадь полной поверхности коробки равна:

S = 2 * W * 3 + 2 * L * 3 + 2 * L * W = 6 * (L + W) + 2 * L * W

Заменяем W и L на их значения:

S = 6 * (6 - 2h + 3) + 2 * 6 * (6 - 2h)

S = 60 - 12h + 12 + 72 - 24h

S = 132 - 36h

Теперь можно найти объем коробки, он равен площади основания (L * W) умноженной на высоту (3 + 2h):

V = (6 - 2h)(6 - 2h) * (3 + 2h)

V = (36 - 24h + 4h^2) * (3 + 2h)

V = 108 + 28h^2 - 48h^2 + 8h^3

Таким образом, площадь полной поверхности коробки равна 132 - 36h кв. см, а ее объем равен 8h^3 - 20h^2 + 108 куб. см.