35балл!!! Найдите количество решений уравнения x1+x2+x3+…+x9=41 в целых неотрица...

July 2022 1 4 Report

35балл!!!
Найдите количество решений уравнения x1+x2+x3+…+x9=41 в целых неотрицательных числах, при условии xi<=5 для всех i от 1 до 9.( Решения, отличающиеся друг от друга порядком следования чисел, считаются различными).

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Ответ:

$495$

Пошаговое объяснение:

Введем замену $y_i=5-x_i, i=\overline{1;9},y_i\in Z^+_0$ ; $0\leq x_i\leq 5\Rightarrow-5\leq -x_i\leq 0\Rightarrow 0\leq y_i\leq 5$ .

Уравнение примет вид

$(5-y_1)+...+(5-y_9)=41\Leftrightarrow 45-(y_1+...+y_9)=41\Leftrightarrow y_1+...+y_9=4$

Далее заметим, что для любого $k=\overline{1;9}$ верно $y_k=4-\sum\limits_{i\neq k}y_i\leq 4$ . То есть верхнее ограничение $y_i\leq 5, i=\overline{1;9}$ выполняется автоматически. Значит, полученная задача равносильна задаче о решении уравнения $y_1+...+y_9=4\;\;\;\;(1)\;\;$ в целых неотрицательных числах.

А для такой задачи применим метод шаров и перегородок: количество решений уравнения (1) совпадает с количеством размещений 4 неразличимых шаров в 9 ящиках [или, что то же самое, с количеством разделения ряда из 4 шаров 8 перегородками].

Искомое количество вариантов

$C_{8+4}^8=C_{12}^8=\dfrac{12!}{8!4!}=\dfrac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2}=11\cdot 5\cdot 9=495$

2 votes Thanks 3

igorShap Более универсальным методом для подобных задач является, например, метод производящих функций, однако он более затратный (в данном случае пришлось бы находить сумму 7 слагаемых)

mathgenius Тоже мелькала в голове идея про такую замену, но решил сделать по простому без лишней мороки

Answers & Comments

Verified answer

storony treugolnika ravny 13 14 15 najti radius opisannoj okruzhnostif5eb1364bcd66dfc6abd13f69771bb98 4079

50 ball skolko sushestvuet takih naturalnyh chisel v desyatichnoj zapisi kotor

70ball skolko sushestvuet takih naturalnyh chisel v desyatichnoj zapisi kotor

storony treugolnika ravny 13 14 15 najti radius vpisannoj okruzhnosti

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social