Ответ:

Наибольшее значение функции: y наиб. = у(6) = 1/12.

Стационарные точки: x = ± 6

Объяснение:

Определить наибольшее значение функции

[tex]\displaystyle \bf y=\frac{x}{36+x^2}[/tex]

на луче [0;+∞). Указать стационарные точки.

y(0) = 0

Определим стационарные точки.

• Стационарными точками функции называются точки, в которых производная функции равна нулю.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

[tex]\displaystyle \bf y'=\frac{x'\cdot (36+x^2)-x\cdot(36+x^2)'}{(36+x^2)^2} =\\\\=\frac{36+x^2-2x^2}{(36+x^2)^2} =\frac{36-x^2}{(36+x^2)^2}[/tex]

y' = 0   ⇒   36 - x² = 0

(6 - x)(6 + x) = 0

x = ± 6 - стационарные точки.

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках. (см. рис)

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

На данном промежутке [0; +∞):

функция возрастает на промежутке [0; 6];

функция убывает на промежутке [6; +∞).

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x max = 6

[tex]\displaystyle \bf y(6)=\frac{6}{36+36}=\frac{1}{12}[/tex]

y наиб. = у(6) = 1/12.

#SPJ1