Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Способ 1:

[tex]\log_6(3x)[/tex] - это монотонно возрастающая функция, поэтому верно, что:

[tex]f(x)=f\left(\dfrac{2x}{3}+1\right),\;\Leftrightarrow\;x=\dfrac{2x}{3}+1,\;\Leftrightarrow\;x=3[/tex]

Обращаю внимание, что нам просто важно, чтобы функция возрастала / убывала на всей области определения, то есть Вам могли бы дать точно такую же задачу и сказать, что [tex]f(x)=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}+\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(x-2)-\sqrt[5]{x}[/tex]. Ответ все равно был бы [tex]x=3[/tex].

Вообще задача странная, так как не понятно, на проверку чего она дана. Предположу, что какой-то школьный преподаватель решил придумать задачу лето и предложу способ 2.

Способ 2:

[tex]f(x)=\log_63x\\\\f\left(\dfrac{2x}{3}+1\right)=\log_6\left(3\cdot\left(\dfrac{2x}{3}+1\right)\right)=\log_6(2x+3)[/tex]

Тогда получили уравнение:

[tex]\log_63x=\log_6(2x+3)[/tex]

ОДЗ:

[tex]\left\{\begin{array}{c}x > 0,\\2x+3 > 0\end{array}\right\;\Leftrightarrow\; x > 0[/tex]

Решение:

[tex]\log_63x=\log_6(2x+3)\\3x=2x+3\\x=3[/tex]

Найденный корень удовлетворяет ОДЗ, а значит [tex]x=3[/tex] - это корень исходного уравнения.

Задание выполнено!